Seja
a transformação dada por:
b) Determine
, onde
.
Passo 1
Então, a gente tem uma transformação
que muda coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas. O que a gente precisa fazer aqui é aplicar essa transformação no conjunto
para encontrar o conjunto
. Vamos precisar entender como cada variável
,
, e
afeta as coordenadas
,
, e
na transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as fórmulas da transformação fornecida:
Aqui,
é a distância do ponto à origem,
é o ângulo com o eixo
, e
é o ângulo no plano
.
Passo 3
Agora, vamos analisar os limites de
:
-
: Isso significa que estamos considerando pontos com distância até no máximo 1 da origem. -
: O ângulo varia de 0 a 90 graus, então estamos olhando para a parte superior da esfera, do polo norte até o equador. -
: O ângulo varia de 0 a 90 graus, o que restringe os pontos ao primeiro quadrante do plano .
Passo 4
Vamos determinar os valores máximos e mínimos para cada coordenada
,
e
usando os limites de
,
e
:
- Para
: -
, , (já que ) - Portanto,
-
- Para
: -
, , (já que ) - Portanto,
-
- Para
: -
, (já que ) - Portanto,
-
Passo 5
Com isso, o conjunto
corresponde a todos os pontos
onde:
Além disso, como
varia de 0 a 1 e
e
variam de 0 a
, estamos lidando com um octante da esfera de raio 1 no primeiro octante das coordenadas cartesianas.
Resposta
O conjunto
é o bloco tridimensional onde
,
e
estão entre 0 e 1, ou seja:
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Calcule as seguintes integrais:
Calcule as seguintes integrais:
Esboce, pinte a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área da mesma usando integral.
b) e
;
b)
Esboce, pinte a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área da mesma usando integral.
a) e
;
a)