Seja a transformação dada por: b) Determine , onde .

Passo 1

Então, a gente tem uma transformação que muda coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas. O que a gente precisa fazer aqui é aplicar essa transformação no conjunto para encontrar o conjunto . Vamos precisar entender como cada variável , , e afeta as coordenadas , , e na transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as fórmulas da transformação fornecida:
Aqui, é a distância do ponto à origem, é o ângulo com o eixo , e é o ângulo no plano .

Passo 3

Agora, vamos analisar os limites de :
  • : Isso significa que estamos considerando pontos com distância até no máximo 1 da origem.
  • : O ângulo varia de 0 a 90 graus, então estamos olhando para a parte superior da esfera, do polo norte até o equador.
  • : O ângulo varia de 0 a 90 graus, o que restringe os pontos ao primeiro quadrante do plano .

Passo 4

Vamos determinar os valores máximos e mínimos para cada coordenada , e usando os limites de , e :
  • Para :
    • , , (já que )
    • Portanto,
  • Para :
    • , , (já que )
    • Portanto,
  • Para :
    • , (já que )
    • Portanto,

Passo 5

Com isso, o conjunto corresponde a todos os pontos onde:
Além disso, como varia de 0 a 1 e e variam de 0 a , estamos lidando com um octante da esfera de raio 1 no primeiro octante das coordenadas cartesianas.

Resposta

O conjunto é o bloco tridimensional onde , e estão entre 0 e 1, ou seja:

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Calcule as seguintes integrais:
Calcule as seguintes integrais:
Esboce, pinte a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área da mesma usando integral.
b) e ;
Esboce, pinte a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área da mesma usando integral.
a) e ;