Calcule as seguintes integrais: integral d xx^4-1

Passo 1

Vamos entender o enunciado. Precisamos calcular a integral de em relação a . Para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que nos permite decompor a fração em termos mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) . Sabemos que:

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração 1x^4 - 1 = Ax - 1 + Bx + 1 + Cx + Dx^2 + 1 como uma soma de frações parciais:
Onde , , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar os valores de 1 = A(x + 1)(x^2 + 1) + B(x - 1)(x^2 + 1) + (Cx + D)(x^2 - 1) , , e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :

Passo 5

Agora, vamos expandir os termos:
1 = A(x^3 + x^2 + x + 1) + B(x^3 - x^2 + x - 1) + Cx(x^2 - 1) + D(x^2 - 1)
1 = A x^3 + A x^2 + A x + A + B x^3 - B x^2 + B x - B + C x^3 - C x + D x^2 - D

Passo 6

Vamos agrupar os termos semelhantes:
1 = (A + B + C)x^3 + (A - B + D)x^2 + (A + B - C)x + (A - B - D)

Passo 7

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo A + B + C = 0 & (coeficiente de x^3) A - B + D = 0 & (coeficiente de x^2) A + B - C = 0 & (coeficiente de x) A - B - D = 1 & (termo constante) , os coeficientes dos termos de mesmo grau devem ser iguais em ambos os lados da equação. Assim, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 8

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. Da primeira e terceira equação:
    A + B + C = 0 A + B - C = 0
    Subtraindo as duas, temos:
    2C = 0 Rightarrow C = 0
    Substituindo A + B = 0 Rightarrow B = -A na primeira equação:
    A - B + D = 0 A - (-A) + D = 0 Rightarrow 2A + D = 0 Rightarrow D = -2A
  2. Da segunda equação:
    A - B - D = 1 A - (-A) - (-2A) = 1 Rightarrow 4A = 1 Rightarrow A = 14
  3. Da quarta equação:
    B = -14 D = -2 times 14 = -12
    Então:

Passo 9

Agora, substituímos os valores encontrados de 1x^4 - 1 = 14x - 1 + -14x + 1 + 0 cdot x - 12x^2 + 1 = 14(x - 1) - 14(x + 1) - 12(x^2 + 1) , , e na expressão das frações parciais:

Passo 10

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1x^4 - 1 , dx = 14 integral 1x - 1 , dx - 14 integral 1x + 1 , dx - 12 integral 1x^2 + 1 , dx
Sabemos que:
integral 1x - a , dx = ln|x - a| + C integral 1x^2 + 1 , dx = arctan(x) + C

Passo 11

Aplicando as integrais:
integral 1x^4 - 1 , dx = 14 ln|x - 1| - 14 ln|x + 1| - 12 arctan(x) + C

Resposta

integral dxx^4 - 1 = 14 ln|x - 1| - 14 ln|x + 1| - 12 arctan(x) + C

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