Vamos entender o enunciado. Precisamos calcular a integral de em relação a . Para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que nos permite decompor a fração em termos mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Sabemos que:
Passo 3
Agora, vamos expressar a fração como uma soma de frações parciais:
Onde , , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar os valores de , , e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Passo 5
Agora, vamos expandir os termos:
Passo 6
Vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 7
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes dos termos de mesmo grau devem ser iguais em ambos os lados da equação. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 8
Vamos resolver o sistema de equações:
Da primeira e terceira equação:
A + B + C = 0 A + B - C = 0
Subtraindo as duas, temos:
2C = 0 Rightarrow C = 0
Substituindo A + B = 0 Rightarrow B = -A na primeira equação:
A - B + D = 0 A - (-A) + D = 0 Rightarrow 2A + D = 0 Rightarrow D = -2A
Da segunda equação:
A - B - D = 1 A - (-A) - (-2A) = 1 Rightarrow 4A = 1 Rightarrow A = 14
Da quarta equação:
B = -14 D = -2 times 14 = -12
Então:
Passo 9
Agora, substituímos os valores encontrados de 1x^4 - 1 = 14x - 1 + -14x + 1 + 0 cdot x - 12x^2 + 1 = 14(x - 1) - 14(x + 1) - 12(x^2 + 1) , , e na expressão das frações parciais:
Passo 10
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1x^4 - 1 , dx = 14 integral 1x - 1 , dx - 14 integral 1x + 1 , dx - 12 integral 1x^2 + 1 , dx
Sabemos que:
integral 1x - a , dx = ln|x - a| + C integral 1x^2 + 1 , dx = arctan(x) + C