Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Vamos entender o enunciado. Precisamos calcular a integral de em relação a . Para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que nos permite decompor a fração em termos mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Sabemos que:

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração como uma soma de frações parciais:
Onde , , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar os valores de , , e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :

Passo 5

Agora, vamos expandir os termos:

Passo 6

Vamos agrupar os termos semelhantes:

Passo 7

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes dos termos de mesmo grau devem ser iguais em ambos os lados da equação. Assim, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 8

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. Da primeira e terceira equação:
    Subtraindo as duas, temos:
    Substituindo na primeira equação:
  2. Da segunda equação:
  3. Da quarta equação:
    Então:

Passo 9

Agora, substituímos os valores encontrados de , , e na expressão das frações parciais:

Passo 10

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Sabemos que:

Passo 11

Aplicando as integrais:

Resposta

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Calcule as seguintes integrais:
Calcule as seguintes integrais:
Seja a transformação dada por: b) Determine , onde .
Esboce, pinte a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área da mesma usando integral.
b) e ;