Vamos entender o enunciado. Precisamos calcular a integral de em relação a . Para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que nos permite decompor a fração em termos mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Sabemos que:
Passo 3
Agora, vamos expressar a fração como uma soma de frações parciais:
Onde , , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar os valores de , , e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Passo 5
Agora, vamos expandir os termos:
Passo 6
Vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 7
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes dos termos de mesmo grau devem ser iguais em ambos os lados da equação. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 8
Vamos resolver o sistema de equações:
Da primeira e terceira equação:
Subtraindo as duas, temos:
Substituindo na primeira equação:
Da segunda equação:
Da quarta equação:
Então:
Passo 9
Agora, substituímos os valores encontrados de , , e na expressão das frações parciais: