Calcule as seguintes integrais: integral x^n ln (a x) d x, a>0 e n in N

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de em relação a . Esse exercício envolve Cálculo Integral, especificamente a técnica de integração por partes. Vamos precisar saber como aplicar essa técnica e manipular funções logarítmicas junto com potências de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
A ideia é escolher partes da nossa integral para e de forma que a integral fique mais fácil de resolver.

Passo 3

Vamos escolher:
u = ln(a x) e dv = x^n , dx
Agora, precisamos calcular du = ddx [ln(a x)] , dx = 1x , dx e v = integral x^n , dx = x^n+1n+1 :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x^n ln(a x) , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= ln(a x) cdot x^n+1n+1 - integral x^n+1n+1 cdot 1x , dx

Passo 5

Vamos simplificar a segunda integral:
integral x^n+1n+1 cdot 1x , dx = 1n+1 integral x^n , dx
E integrando 1n+1 cdot x^n+1n+1 = x^n+1(n+1)^2 :

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão:
integral x^n ln(a x) , dx = x^n+1 ln(a x)n+1 - x^n+1(n+1)^2 + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

integral x^n ln(a x) , dx = x^n+1 ln(a x)n+1 - x^n+1(n+1)^2 + C

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