Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma fração algébrica, ou seja, um polinômio dividido por outro polinômio. Para resolver isso, vamos precisar usar a fração parcial, que é uma técnica que nos ajuda a quebrar frações complicadas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o grau do numerador (o polinômio de cima) é menor que o grau do denominador (o polinômio de baixo). No nosso caso, o numerador é de grau 2 () e o denominador é de grau 3 (), então já está ok para aplicar a fração parcial diretamente.
Passo 3
Agora, vamos fatorar o denominador . Sabemos que pode ser fatorado como uma diferença de cubos:
Isso nos ajuda a separar a fração em partes mais simples.
Passo 4
Vamos expressar a fração original como uma soma de frações parciais:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 5
Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos e agrupamos os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvemos esse sistema de equações:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora temos:
Somando as duas equações:
Então, e .
Passo 7
Agora que temos os valores de , e , podemos escrever a fração parcial:
Pronto para integrar!
Passo 8
Vamos integrar cada parte separadamente:
A primeira integral é direta:
Passo 9
Para a segunda integral, vamos simplificar o numerador . Observamos que a derivada do denominador é , que está próxima de . Podemos reescrever o numerador:
Então, a integral fica:
A primeira parte é fácil:
Passo 10
Para a segunda parte, completamos o quadrado no denominador: