Calcule as seguintes integrais: integral 3 x^2+2 x-2x^3-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma fração algébrica, ou seja, um polinômio dividido por outro polinômio. Para resolver isso, vamos precisar usar a fração parcial, que é uma técnica que nos ajuda a quebrar frações complicadas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o grau do numerador (o polinômio de cima) é menor que o grau do denominador (o polinômio de baixo). No nosso caso, o numerador é de grau 2 ( ) e o denominador é de grau 3 ( ), então já está ok para aplicar a fração parcial diretamente.

Passo 3

Agora, vamos fatorar o denominador x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) . Sabemos que pode ser fatorado como uma diferença de cubos:
Isso nos ajuda a separar a fração em partes mais simples.

Passo 4

Vamos expressar a fração original como uma soma de frações parciais:
3x^2+2x-2(x-1)(x^2+x+1) = Ax-1 + Bx + Cx^2+x+1
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por 3x^2+2x-2 = A(x^2+x+1) + (Bx + C)(x - 1) para eliminar os denominadores:
3x^2+2x-2 = A x^2 + A x + A + B x^2 - B x + C x - C
Agora, expandimos e agrupamos os termos semelhantes:
3x^2+2x-2 = (A + B)x^2 + (A - B + C)x + (A - C)

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
A + B = 3 A - B + C = 2 A - C = -2
Resolvemos esse sistema de equações:
  1. Da terceira equação: B + C = 5 - B + 2C = 4
  2. Substituindo 3C = 9 Rightarrow C = 3 na primeira equação:
  3. Substituindo na segunda equação:
Agora temos:
Somando as duas equações:
Então, e .

Passo 7

Agora que temos os valores de 3x^2+2x-2x^3-1 = 1x-1 + 2x + 3x^2+x+1 , e , podemos escrever a fração parcial:
Pronto para integrar!

Passo 8

Vamos integrar cada parte separadamente:
integral 1x-1 , dx + integral 2x + 3x^2+x+1 , dx
A primeira integral é direta:
integral 1x-1 , dx = ln|x - 1| + C1

Passo 9

Para a segunda integral, vamos simplificar o numerador 2x + 3 = (2x + 1) + 2 . Observamos que a derivada do denominador integral 2x + 1x^2+x+1 , dx + integral 2x^2+x+1 , dx é integral 2x + 1x^2+x+1 , dx = ln|x^2+x+1| + C2 , que está próxima de . Podemos reescrever o numerador:
Então, a integral fica:
A primeira parte é fácil:

Passo 10

Para a segunda parte, completamos o quadrado no denominador:
x^2 + x + 1 = (x + 12)^2 + 34
Então, a integral se torna:
integral 2(x + 12)^2 + (raiz32)^2 , dx = 4raiz3 arctan(2x + 1raiz3) + C3

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
ln|x - 1| + ln|x^2 + x + 1| + 4raiz3 arctan(2x + 1raiz3) + C
onde é a constante de integração.

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