Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma fração algébrica, ou seja, um polinômio dividido por outro polinômio. Para resolver isso, vamos precisar usar a fração parcial, que é uma técnica que nos ajuda a quebrar frações complicadas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o grau do numerador (o polinômio de cima) é menor que o grau do denominador (o polinômio de baixo). No nosso caso, o numerador é de grau 2 ( ) e o denominador é de grau 3 ( ), então já está ok para aplicar a fração parcial diretamente.

Passo 3

Agora, vamos fatorar o denominador . Sabemos que pode ser fatorado como uma diferença de cubos:
Isso nos ajuda a separar a fração em partes mais simples.

Passo 4

Vamos expressar a fração original como uma soma de frações parciais:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos e agrupamos os termos semelhantes:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvemos esse sistema de equações:
  1. Da terceira equação:
  2. Substituindo na primeira equação:
  3. Substituindo na segunda equação:
Agora temos:
Somando as duas equações:
Então, e .

Passo 7

Agora que temos os valores de , e , podemos escrever a fração parcial:
Pronto para integrar!

Passo 8

Vamos integrar cada parte separadamente:
A primeira integral é direta:

Passo 9

Para a segunda integral, vamos simplificar o numerador . Observamos que a derivada do denominador é , que está próxima de . Podemos reescrever o numerador:
Então, a integral fica:
A primeira parte é fácil:

Passo 10

Para a segunda parte, completamos o quadrado no denominador:
Então, a integral se torna:

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
onde é a constante de integração.

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