Calcule as seguintes integrais: integral d xx^3+x^2+x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para calcular a integral de em relação a . Estamos lidando com cálculo, mais especificamente com integrais que envolvem frações racionais. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais.

Passo 2

Vamos começar fatorando o denominador x^3 + x^2 + x = x(x^2 + x + 1) . Perceba que todos os termos têm um integral dxx^3 + x^2 + x = integral dxx(x^2 + x + 1) em comum:
Agora, temos:

Passo 3

A próxima etapa é decompor a fração 1x(x^2 + x + 1) = Ax + Bx + Cx^2 + x + 1 em frações parciais. Isso significa que vamos escrever essa fração como a soma de termos mais simples:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da equação por 1 = A(x^2 + x + 1) + (Bx + C)x para eliminar os denominadores:
1 = A x^2 + A x + A + B x^2 + C x
Simplificando:
1 = (A + B) x^2 + (A + C) x + A
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
A + B = 0 A + C = 0 A = 1
Resolvendo o sistema:
  • De , já sabemos que .
  • De , temos .
  • De , temos .
Então, , e .

Passo 6

Substituindo os valores de 1x(x^2 + x + 1) = 1x + -x - 1x^2 + x + 1 , integral dxx - integral x + 1x^2 + x + 1 dx e na decomposição de frações parciais:
Então, podemos escrever a integral como:

Passo 7

Vamos resolver cada integral separadamente. A primeira é simples:
integral dxx = ln|x| + C
Para a segunda integral, vamos separar os termos:
integral x + 1x^2 + x + 1 dx = integral x + 12x^2 + x + 1 dx + integral 12x^2 + x + 1 dx
Aqui, ajustamos os termos para facilitar a integração.

Passo 8

Observando a primeira parte:
integral x + 12x^2 + x + 1 dx
Perceba que o numerador é a derivada do denominador, o que simplifica a integração:
12 ln|x^2 + x + 1|
Para a segunda parte:
integral 12x^2 + x + 1 dx
Vamos completar o quadrado no denominador:
x^2 + x + 1 = (x + 12)^2 + 34
Então, a integral se torna:
12 cdot 2raiz3 tan^-1(2x + 1raiz3) = 1raiz3 tan^-1(2x + 1raiz3)

Passo 9

Juntando todas as partes, temos:
ln|x| - 12 ln|x^2 + x + 1| - 1raiz3 tan^-1(2x + 1raiz3) + C

Resposta

A integral é igual a
ln|x| - 12 ln|x^2 + x + 1| - 1raiz3 tan^-1(2x + 1raiz3) + C

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