Primeiro, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para calcular a integral de em relação a . Estamos lidando com cálculo, mais especificamente com integrais que envolvem frações racionais. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais.
Passo 2
Vamos começar fatorando o denominador . Perceba que todos os termos têm um em comum:
Agora, temos:
Passo 3
A próxima etapa é decompor a fração em frações parciais. Isso significa que vamos escrever essa fração como a soma de termos mais simples:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
Resolvendo o sistema:
De , já sabemos que .
De , temos .
De , temos .
Então, , e .
Passo 6
Substituindo os valores de 1x(x^2 + x + 1) = 1x + -x - 1x^2 + x + 1 , integral dxx - integral x + 1x^2 + x + 1 dx e na decomposição de frações parciais:
Então, podemos escrever a integral como:
Passo 7
Vamos resolver cada integral separadamente. A primeira é simples:
integral dxx = ln|x| + C
Para a segunda integral, vamos separar os termos:
integral x + 1x^2 + x + 1 dx = integral x + 12x^2 + x + 1 dx + integral 12x^2 + x + 1 dx
Aqui, ajustamos os termos para facilitar a integração.
Passo 8
Observando a primeira parte:
integral x + 12x^2 + x + 1 dx
Perceba que o numerador é a derivada do denominador, o que simplifica a integração: