Calcule as seguintes integrais: integral (x+3) d x4 x^4+4 x^3+x^2

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver uma integral aqui que envolve polinômios. O enunciado é calcular a integral de . Vamos precisar usar técnicas de frações parciais para simplificar essa expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração: . Nosso objetivo é fatorar esse polinômio para facilitar a divisão.

Passo 3

Observando o denominador, podemos fatorar um 4x^4 + 4x^3 + x^2 = x^2(4x^2 + 4x + 1) que é comum em todos os termos:

Passo 4

Agora, vamos focar no polinômio quadrático dentro dos parênteses: 4x^2 + 4x + 1 = (2x + 1)^2 . Esse pode ser fatorado como um quadrado perfeito:
4x^4 + 4x^3 + x^2 = x^2(2x + 1)^2
Então, o denominador completo fica:

Passo 5

Com o denominador fatorado, podemos reescrever a integral:
integral (x + 3)x^2(2x + 1)^2 , dx
Agora, vamos usar frações parciais para decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 6

Assumimos que a fração pode ser escrita como:
x + 3x^2(2x + 1)^2 = Ax + Bx^2 + C2x + 1 + D(2x + 1)^2
Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e .

Passo 7

Multiplicamos ambos os lados da equação por x + 3 = A x (2x + 1)^2 + B (2x + 1)^2 + C x^2(2x + 1) + D x^2 para eliminar os denominadores:

Passo 8

Agora, escolhemos valores estratégicos de 0 + 3 = A cdot 0 + B cdot 1^2 + C cdot 0 + D cdot 0 3 = B para facilitar a resolução:
  1. Quando -12 + 3 = A cdot (-12) cdot 0 + B cdot 0 + C cdot (14) cdot 0 + D cdot (14) 52 = D4 D = 5 times 4 = 20 :
Então, .
  1. Quando :
Então, .

Passo 9

Para encontrar x + 3 = A x (4x^2 + 4x + 1) + 3 (4x^2 + 4x + 1) + C x^2(2x + 1) + 20 x^2 e x + 3 = A(4x^3 + 4x^2 + x) + 12x^2 + 12x + 3 + C(2x^3 + x^2) + 20x^2 , expandimos a equação original:
x + 3 = (4A + 2C)x^3 + (4A + 12 + C + 20)x^2 + (A + 12)x + 3
Expandindo:
Agrupando os termos por potências de :

Passo 10

Agora, igualamos os coeficientes das potências de 4A + 2C = 0 de ambos os lados:
  1. Coeficiente de 4A + C + 32 = 0 :
A + 12 = 1 A = 1 - 12 A = -11
  1. Coeficiente de 3 = 3 (Confirmação) :
  1. Coeficiente de :
  1. Termo constante:
çã

Passo 11

Com 4(-11) + 2C = 0 -44 + 2C = 0 2C = 44 C = 22 , substituímos na primeira equação para encontrar :

Passo 12

Agora, temos todos os valores:
A = -11, B = 3, C = 22, D = 20
Então, a fração original pode ser escrita como:
x + 3x^2(2x + 1)^2 = -11x + 3x^2 + 222x + 1 + 20(2x + 1)^2

Passo 13

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral x + 3x^2(2x + 1)^2 , dx = integral ( -11x + 3x^2 + 222x + 1 + 20(2x + 1)^2 ) dx

Passo 14

Integrando termo a termo:
  1. 22 integral 1u cdot du2 = 11 ln|u| = 11 ln|2x + 1|
    Aqui, usamos a integral básica 20 integral u^-2 cdot du2 = 10 integral u^-2 , du = 10 ( -u^-1 ) = -102x + 1 .
  2. Aplicamos a regra de potência para integrais.
  3. Fazemos uma substituição simples: seja , então ou .
  4. Usamos a substituição novamente: , , .

Passo 15

Juntando todas as integrais, temos:
-11 ln|x| - 3x + 11 ln|2x + 1| - 102x + 1 + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a
-11, ln|x| - 3x + 11, ln|2x + 1| - 102x + 1 + C

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