Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver uma integral aqui que envolve polinômios. O enunciado é calcular a integral de . Vamos precisar usar técnicas de frações parciais para simplificar essa expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração: . Nosso objetivo é fatorar esse polinômio para facilitar a divisão.

Passo 3

Observando o denominador, podemos fatorar um que é comum em todos os termos:

Passo 4

Agora, vamos focar no polinômio quadrático dentro dos parênteses: . Esse pode ser fatorado como um quadrado perfeito:
Então, o denominador completo fica:

Passo 5

Com o denominador fatorado, podemos reescrever a integral:
Agora, vamos usar frações parciais para decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 6

Assumimos que a fração pode ser escrita como:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e .

Passo 7

Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:

Passo 8

Agora, escolhemos valores estratégicos de para facilitar a resolução:
  1. Quando :
Então, .
  1. Quando :
Então, .

Passo 9

Para encontrar e , expandimos a equação original:
Expandindo:
Agrupando os termos por potências de :

Passo 10

Agora, igualamos os coeficientes das potências de de ambos os lados:
  1. Coeficiente de :
  1. Coeficiente de :
  1. Coeficiente de :
  1. Termo constante:
çã

Passo 11

Com , substituímos na primeira equação para encontrar :

Passo 12

Agora, temos todos os valores:
Então, a fração original pode ser escrita como:

Passo 13

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 14

Integrando termo a termo:
  1. Aqui, usamos a integral básica .
  2. Aplicamos a regra de potência para integrais.
  3. Fazemos uma substituição simples: seja , então ou .
  4. Usamos a substituição novamente: , , .

Passo 15

Juntando todas as integrais, temos:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a

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Considere a função . Verifique que .
Calcule as seguintes integrais:
Calcule as seguintes integrais: sen