Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver uma integral aqui que envolve polinômios. O enunciado é calcular a integral de
. Vamos precisar usar técnicas de frações parciais para simplificar essa expressão e facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração:
. Nosso objetivo é fatorar esse polinômio para facilitar a divisão.
Passo 3
Observando o denominador, podemos fatorar um
que é comum em todos os termos:
Passo 4
Agora, vamos focar no polinômio quadrático dentro dos parênteses:
. Esse pode ser fatorado como um quadrado perfeito:
Então, o denominador completo fica:
Passo 5
Com o denominador fatorado, podemos reescrever a integral:
Agora, vamos usar frações parciais para decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 6
Assumimos que a fração pode ser escrita como:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
,
e
.
Passo 7
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 8
Agora, escolhemos valores estratégicos de
para facilitar a resolução:
- Quando
:
Então,
.
- Quando
:
Então,
.
Passo 9
Para encontrar
e
, expandimos a equação original:
Expandindo:
Agrupando os termos por potências de
:
Passo 10
Agora, igualamos os coeficientes das potências de
de ambos os lados:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Termo constante:
Passo 11
Com
, substituímos na primeira equação para encontrar
:
Passo 12
Agora, temos todos os valores:
Então, a fração original pode ser escrita como:
Passo 13
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 14
Integrando termo a termo:
-
Aqui, usamos a integral básica
. -
Aplicamos a regra de potência para integrais.
-
Fazemos uma substituição simples: seja
, então ou . -
Usamos a substituição novamente:
, , .
Passo 15
Juntando todas as integrais, temos:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral é igual a
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Considere a função
. Verifique que
.
Calcule as seguintes integrais:
Calcule as seguintes integrais:
sen