lim (x, y) (0,0) x^2x^2-y

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa encontrar o limite de x^2x^2-y quando (x, y) se aproxima de (0,0). Esse tipo de problema está na área de Cálculo Multivariável, onde analisamos limites de funções com mais de uma variável. Para resolver, vamos precisar verificar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos de (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar nos aproximar de (0,0) pelo eixo x, ou seja, deixando y=0. Substituindo na função, temos:
x^2x^2-0 = x^2x^2 = 1
Então, quando nos aproximamos pelo eixo x, o limite é 1.

Passo 3

Agora, vamos escolher outro caminho para nos aproximar de (0,0). Vamos tentar seguir a curva y = kx^2, onde k é uma constante qualquer. Substituindo na função:
x^2x^2 - kx^2 = x^2x^2(1 - k) = 11 - k
Perceba que o limite depende do valor de k. Se k for diferente de 1, o limite será 11 - k. Por exemplo, se k = 2, o limite será -1; se k = 12, o limite será 2.

Passo 4

O próximo passo é analisar o que isso significa. Se o limite depende do caminho escolhido para se aproximar de (0,0), isso indica que o limite geral não existe. Pois, para existir, o valor do limite deve ser o mesmo para todos os caminhos possíveis de aproximação.

Resposta

O limite lim (x, y) (0,0) x^2x^2-y não existe porque depende do caminho pelo qual nos aproximamos de (0,0).

Exercícios relacionados