Calcule as seguintes integrais: integral e^5 x d x(e^2 x+1)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui estamos lidando com uma integral que envolve funções exponenciais e uma expressão racional. Para resolver isso, vamos usar o método de substituição, que é uma técnica básica de cálculo para simplificar integrais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos definir . Isso significa que a derivada de em relação a é , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos reescrever todas as partes da integral em termos de integral t^5(t^2 + 1)^2 cdot dtt = integral t^4(t^2 + 1)^2 dt :
  • O denominador fica
Substituindo esses valores na integral, temos:

Passo 4

Agora, vamos simplificar o integrando. Podemos reescrever t^4 = (t^2 + 1)^2 - 2(t^2 + 1) + 1 de uma forma que facilite a divisão pelo denominador:
t^4(t^2 + 1)^2 = 1 - 2t^2 + 1 + 1(t^2 + 1)^2
Isso nos permite dividir a fração:

Passo 5

Vamos então separar a integral em três partes:
integral (1 - 2t^2 + 1 + 1(t^2 + 1)^2) dt = integral 1 , dt - 2 integral 1t^2 + 1 dt + integral 1(t^2 + 1)^2 dt

Passo 6

Agora, resolvemos cada uma dessas integrais individualmente:
  1. integral 1(t^2 + 1)^2 dt = t2(t^2 + 1) + 12 arctan(t) + C
  2. é um pouco mais complicada, mas podemos usar a fórmula:

Passo 7

Agora, combinando todas as partes:
t - 2 arctan(t) + ( t2(t^2 + 1) + 12 arctan(t) ) + C
Simplificando:
t - 32 arctan(t) + t2(t^2 + 1) + C

Passo 8

Por fim, voltamos à variável original e^x - 32 arctan(e^x) + e^x2(e^2x + 1) + C substituindo :

Resposta

integral e^5x(e^2x + 1)^2 dx = e^x - 32 arctan(e^x) + e^x2(e^2x + 1) + C

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