Considere a função z=x y^2x^2+y^2. Verifique que x partial fpartial x+y partial fpartial y=z.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos verificar se . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, tratamos como uma constante e diferenciamos em relação a .

Passo 3

Aplicando a regra do quociente para derivadas, temos:
partial fpartial x = (y^2)(x^2 + y^2) - x y^2(2x)(x^2 + y^2)^2
Simplificando o numerador:
partial fpartial x = y^2(x^2 + y^2 - 2x^2)(x^2 + y^2)^2 = y^2(y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^2

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y = (2xy)(x^2 + y^2) - x y^2(2y)(x^2 + y^2)^2 em relação a partial fpartial y = 2x y (x^2 + y^2) - 2x y^3(x^2 + y^2)^2 = 2x y x^2 + 2x y^3 - 2x y^3(x^2 + y^2)^2 = 2x^3 y(x^2 + y^2)^2 , ou seja, . Novamente, usamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:

Passo 5

Agora, substituímos as derivadas parciais na expressão x ( y^2(y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^2 ) + y ( 2x^3 y(x^2 + y^2)^2 ) :
x y^2(y^2 - x^2) + 2x^3 y^2(x^2 + y^2)^2 = x y^2 y^2 - x y^2 x^2 + 2x^3 y^2(x^2 + y^2)^2 = x y^4 + x^3 y^2(x^2 + y^2)^2 = x y^2(x^2 + y^2)(x^2 + y^2)^2 = x y^2x^2 + y^2 = z
Simplificando:

Resposta

Concluímos que , conforme solicitado.

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