Calcule as seguintes integrais. integral arcsen x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O que a gente tem aqui é a integral de com relação a . Isso faz parte da matéria de cálculo, mais especificamente de integração. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes. Se você não está familiarizado com ela, não se preocupa que vou explicar tudo passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
A ideia aqui é escolher partes da nossa integral original para serem e . Uma boa estratégia é deixar ser a função que fica mais simples quando derivada, e ser o restante da expressão.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, vamos escolher:
Agora, precisamos calcular u = arcsen x e dv = dx e du = ddx (arcsen x) , dx = 1raiz1 - x^2 , dx . Para encontrar v = integral dv = integral dx = x , derivamos em relação a :
Já para encontrar , integramos :

Passo 4

Agora, substituímos integral arcsen x , dx = u cdot v - integral v , du = arcsen x cdot x - integral x cdot 1raiz1 - x^2 , dx , , na fórmula da integraç��o por partes:
Então, nossa integral agora está dividida em duas partes: e a segunda integral que precisamos resolver.

Passo 5

Vamos focar na segunda integral:
integral xraiz1 - x^2 , dx
Aqui, podemos fazer uma substituição para simplificar. Vamos deixar:
t = 1 - x^2 Rightarrow dt = -2x , dx Rightarrow -12 dt = x , dx
Substituindo na integral:
integral xraiz1 - x^2 , dx = -12 integral 1raizt , dt = -12 cdot 2 raizt + C = -raizt + C
Voltando para -raiz1 - x^2 + C :

Passo 6

Agora, substituímos esse resultado na expressão que obtivemos no Passo 4:

Resposta

A integral de em relação a integral arcsen x , dx = x cdot arcsen x + raiz1 - x^2 + C é:
Onde é a constante de integração.

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