Calcule as seguintes integrais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O que a gente tem aqui é a integral de com relação a . Isso faz parte da matéria de cálculo, mais especificamente de integração. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes. Se você não está familiarizado com ela, não se preocupa que vou explicar tudo passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da integração por partes:
A ideia aqui é escolher partes da nossa integral original para serem e . Uma boa estratégia é deixar ser a função que fica mais simples quando derivada, e ser o restante da expressão.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, vamos escolher:
Agora, precisamos calcular e . Para encontrar , derivamos em relação a :
Já para encontrar , integramos :

Passo 4

Agora, substituímos , , na fórmula da integraç��o por partes:
Então, nossa integral agora está dividida em duas partes: e a segunda integral que precisamos resolver.

Passo 5

Vamos focar na segunda integral:
Aqui, podemos fazer uma substituição para simplificar. Vamos deixar:
Substituindo na integral:
Voltando para :

Passo 6

Agora, substituímos esse resultado na expressão que obtivemos no Passo 4:

Resposta

A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração.

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(a)