Determine uma representação paramétrica para a superfície: a parte da esfera que está acima do cone ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar uma representação paramétrica da superfície que é a parte da esfera que está acima do cone . Isso envolve conceitos de coordenadas esféricas e como elas se relacionam com cones e esferas. Vamos precisar usar as fórmulas de coordenadas esféricas para parametrizar essa superfície.
Passo 2
Primeiro, lembremos como ficam as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros: (a distância do ponto à origem), (o ângulo com o eixo z) e (o ângulo no plano xy a partir do eixo x). As transformações para coordenadas cartesianas são:
Como estamos falando de uma esfera, é constante e igual ao raio da esfera, que vamos chamar de .
Passo 3
Agora, precisamos relacionar a esfera com o cone dado. O cone é definido pela equação . Vamos substituir as expressões das coordenadas esféricas nessa equação para encontrar a condição que determina até onde nossa superfície deve ir.
Passo 4
Substituindo , e pelas expressões em coordenadas esféricas:
Simplificando o lado direito:
Como , podemos dividir ambos os lados por :
Passo 5
A equação é satisfeita quando radianos (ou 45 graus). Isso significa que, para estar acima do cone, o ângulo deve variar de 0 até .
Passo 6
O ângulo gira completamente ao redor do eixo z, então ele varia de 0 a radianos.
Passo 7
Com isso, temos nossa parametrização completa. A representação paramétrica da superfície é dada por:
onde e .
Resposta
A representação paramétrica para a superfície da parte da esfera acima do cone é: