Usando o limite fundamental lim x 0 sin xx=1. Calcule os seguintes limites: lim x pi sin xx-pi

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite:
limx pi sin xx - pi
Para resolver isso, vamos usar o limite fundamental:
limx 0 sin xx = 1
Vamos precisar fazer uma substituição para transformar o nosso limite na forma do limite fundamental.

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma nova variável para simplificar. Vamos chamar de t:
t = x - pi
Quando x se aproxima de pi, t se aproxima de 0. Então, podemos reescrever o nosso limite em termos de t:
limt 0 sin (pi + t)t

Passo 3

Agora, vamos usar uma identidade trigonométrica que nos ajuda a simplificar a expressão sin (pi + t). Sabemos que:
sin (pi + t) = -sin t
Substituindo isso na nossa expressão, temos:
limt 0 -sin tt = -limt 0 sin tt

Passo 4

Lembrando do limite fundamental, sabemos que:
limt 0 sin tt = 1
Então, substituindo esse valor na nossa expressão, fica:
- times 1 = -1

Resposta

O limite limx pi sin xx - pi é igual a -1.

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