Calcule as seguintes integrais: integral cos theta cos ^5(sen theta) d theta

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral . Isso envolve a matéria de integração por substituição. Para resolver, vamos precisar entender como escolher uma substituição que simplifique a expressão para integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que pode ser substituída por uma variável diferente para facilitar a integração. Observamos que temos u = sin theta dentro do cosseno elevado a quinta potência. Então, vamos fazer a substituição:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o diferencial dudtheta = cos theta . Derivando du = cos theta , dtheta em relação a :
Isso é ótimo porque na nossa integral original, temos exatamente , que substituímos por .

Passo 4

Com a substituição feita, nossa integral original fica mais simples:
integral cos theta cos^5(sin theta) , dtheta = integral cos^5(u) , du
Agora, precisamos integrar em relação a .

Passo 5

Para integrar cos^5(u) = cos^4(u) cdot cos(u) , vamos usar uma identidade trigonométrica para reduzir a potência do cosseno. Sabemos que:
cos^5(u) = (1 - sin^2(u))^2 cdot cos(u)
E como , podemos reescrever como . Então:

Passo 6

Vamos agora fazer outra substituição para facilitar a integração. Seja:
v = sin(u)
dv = cos(u) , du
Substituindo na integral:
integral (1 - v^2)^2 , dv

Passo 7

Agora, vamos expandir o termo (1 - v^2)^2 = 1 - 2v^2 + v^4 :
integral (1 - 2v^2 + v^4) , dv
Portanto, a integral fica:

Passo 8

Integrando termo a termo:
integral 1 , dv = v
integral -2v^2 , dv = -23v^3
integral v^4 , dv = 15v^5
Então, juntando tudo:
v - 23v^3 + 15v^5 + C

Passo 9

Agora, substituímos de volta sin(u) - 23sin^3(u) + 15sin^5(u) + C e = sin(sin theta) - 23sin^3(sin theta) + 15sin^5(sin theta) + C :

Resposta

A integral sin(sin theta) - 23sin^3(sin theta) + 15sin^5(sin theta) + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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