Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral
. Isso envolve a matéria de integração por substituição. Para resolver, vamos precisar entender como escolher uma substituição que simplifique a expressão para integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que pode ser substituída por uma variável diferente para facilitar a integração. Observamos que temos
dentro do cosseno elevado a quinta potência. Então, vamos fazer a substituição:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o diferencial
. Derivando
em relação a
:
Isso é ótimo porque na nossa integral original, temos exatamente
, que substituímos por
.
Passo 4
Com a substituição feita, nossa integral original fica mais simples:
Agora, precisamos integrar
em relação a
.
Passo 5
Para integrar
, vamos usar uma identidade trigonométrica para reduzir a potência do cosseno. Sabemos que:
E como
, podemos reescrever
como
. Então:
Passo 6
Vamos agora fazer outra substituição para facilitar a integração. Seja:
Substituindo na integral:
Passo 7
Agora, vamos expandir o termo
:
Portanto, a integral fica:
Passo 8
Integrando termo a termo:
Então, juntando tudo:
Passo 9
Agora, substituímos de volta
e
:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.
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Nos seguintes problemas, calcule o limite de
quando
tende a
, ao longo de cada um dos caminhos indicados
ao longo do eixo
;
ao longo da reta
.
Calcule as seguintes integrais: