lim (x, y) (0,0) x^4-y^2x^4+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, que fazem parte do cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos verificar o comportamento da função quando se aproxima de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que acontece quando nos aproximamos de x^4-0^2x^4+0^2 = x^4x^4 = 1 ao longo do eixo , ou seja, quando . Substituindo por na função, temos:
Então, ao longo do eixo , o limite é .

Passo 3

Agora, vamos nos aproximar de 0^4-y^20^4+y^2 = -y^2y^2 = -1 ao longo do eixo , ou seja, quando . Substituindo por na função, temos:
Então, ao longo do eixo , o limite é .

Passo 4

Perceba que ao nos aproximarmos de por caminhos diferentes obtemos limites distintos: e . Isso significa que o valor do limite depende do caminho escolhido para chegar a .

Passo 5

Quando o limite de uma função de duas variáveis depende do caminho de aproximação, dizemos que o limite não existe. Isso porque, para o limite existir, todos os caminhos de aproximação devem resultar no mesmo valor.

Resposta

O limite não existe.

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