Nos seguintes problemas, calcule o limite de
quando
tende a
, ao longo de cada um dos caminhos indicados
ao longo do eixo
;
ao longo da reta
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite da função
quando o ponto
se aproxima de
, seguindo dois caminhos específicos:
- Ao longo do eixo
: Isso significa que . - Ao longo da reta
: Aqui, é igual a .
Vamos usar conceitos de limites em duas variáveis e substituir os caminhos dados na função para encontrar os limites.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite ao longo do eixo
. Quando nos movemos ao longo do eixo
, a coordenada
é sempre zero. Então, podemos substituir
na função:
Assim, o limite quando
se aproxima de
pelo eixo
é 0.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite ao longo da reta
. Nesse caso, substituímos
por
na função:
Aqui, percebemos que
não é zero (exceto em
), então podemos simplificar a expressão. Portanto, o limite quando
se aproxima de
pela reta
é
.
Resposta
- (i) O limite ao longo do eixo
é 0. - (ii) O limite ao longo da reta
é .
Exercícios relacionados
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. Mostre que
tem retornos constantes de escala quando
.
Para quais valores de
o gráfico da superfície de nível
é não vazio?
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Calcule as seguintes integrais: