Nos seguintes problemas, calcule o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (0,0), ao longo de cada um dos caminhos indicados
a) 1/(b + sen(c)) f(x, y) = 5xy / (x^2 + y^2)
i ao longo do eixo x;
(ii) ao longo da reta y = x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite da função quando o ponto se aproxima de , seguindo dois caminhos específicos:
  1. Ao longo do eixo : Isso significa que .
  2. Ao longo da reta : Aqui, é igual a .
Vamos usar conceitos de limites em duas variáveis e substituir os caminhos dados na função para encontrar os limites.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite ao longo do eixo . Quando nos movemos ao longo do eixo , a coordenada é sempre zero. Então, podemos substituir na função:
Assim, o limite quando se aproxima de pelo eixo é 0.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite ao longo da reta . Nesse caso, substituímos por na função:
Aqui, percebemos que não é zero (exceto em ), então podemos simplificar a expressão. Portanto, o limite quando se aproxima de pela reta é .

Resposta

  • (i) O limite ao longo do eixo é 0.
  • (ii) O limite ao longo da reta é .

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