Calcule as seguintes integrais: integral 3 z+1(z^2-4)^2 d z

Passo 1

Ok, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a seguinte integral:
integral 3z + 1(z^2 - 4)^2 , dz
Vamos usar conhecimentos de cálculo de integrais, especialmente a técnica de substituição e decomposição em frações simples. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
integral 3z(z^2 - 4)^2 , dz + integral 1(z^2 - 4)^2 , dz
Isso ajuda a simplificar cada termo individualmente.

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral:
integral 3z(z^2 - 4)^2 , dz
Aqui, percebemos que o numerador está relacionado à derivada de . Isso sugere usar uma substituição.

Passo 4

Vamos fazer a substituição dudz = 2z Rightarrow dz = du2z . Então, derivando ambos os lados:
integral 3zu^2 cdot du2z = 32 integral 1u^2 , du
Agora, substituímos na integral:

Passo 5

Integrando 32 integral u^-2 , du = 32 ( -u^-1 ) + C = -32u + C :
-32(z^2 - 4) + C
Substituindo :

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral 1(z^2 - 4)^2 , dz
Para integrar esse termo, usamos uma fórmula padrão de integração que envolve funções racionais. A fórmula é:
Aqui, integral 1(z^2 - a^2)^2 , dz = z4a^2(z^2 - a^2) + 18a^3 ln|z - az + a| + C , então .

Passo 7

Aplicando a fórmula com integral 1(z^2 - 4)^2 , dz = z16(z^2 - 4) + 132 ln|z - 2z + 2| + C :

Passo 8

Agora, juntamos as duas integrais que resolvemos:
-32(z^2 - 4) + z16(z^2 - 4) + 132 ln|z - 2z + 2| + C
Podemos simplificar os termos com -2416(z^2 - 4) + z16(z^2 - 4) = -24 + z16(z^2 - 4) :
z - 2416(z^2 - 4) + 132 ln|z - 2z + 2| + C
Então, a expressão fica:

Resposta

A integral é igual a:
z - 2416(z^2 - 4) + 132 ln|z - 2z + 2| + C

Exercícios relacionados

lim (x, y) (0,0) x^4-y^2x^4+y^2
Calcule as seguintes integrais: integral cos theta cos ^5(sen theta) d theta
Calcule as seguintes integrais: integral0^4 x^2 d x2 x^3+9 x^2+12 x+4
Encontrar o envelope das famílias de curvas
C x^2 + C^2 y = 1