Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Ok, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a seguinte integral:
Vamos usar conhecimentos de cálculo de integrais, especialmente a técnica de substituição e decomposição em frações simples. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
Isso ajuda a simplificar cada termo individualmente.
Passo 3
Vamos resolver a primeira integral:
Aqui, percebemos que o numerador
está relacionado à derivada de
. Isso sugere usar uma substituição.
Passo 4
Vamos fazer a substituição
. Então, derivando ambos os lados:
Agora, substituímos na integral:
Passo 5
Integrando
:
Substituindo
:
Passo 6
Agora, vamos resolver a segunda integral:
Para integrar esse termo, usamos uma fórmula padrão de integração que envolve funções racionais. A fórmula é:
Aqui,
, então
.
Passo 7
Aplicando a fórmula com
:
Passo 8
Agora, juntamos as duas integrais que resolvemos:
Podemos simplificar os termos com
-2416(z^2 - 4) + z16(z^2 - 4) = -24 + z16(z^2 - 4) :
Então, a expressão fica:
Resposta
A integral é igual a:
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