Calcule as seguintes integrais: integral sen^3 12 y cos ^2 12 y d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas elevadas a potências, que fazem parte do estudo de Cálculo Integral, mais especificamente das integrais envolvendo potências de funções trigonométricas. Para resolver essa integral, vamos usar o método de substituição, que ajuda a simplificar a expressão para algo mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar dt = -12 sin(12 y) dy . Isso significa que a derivada de dy = -2 dtsin(12 y) em relação a será:
Podemos rearranjar essa equação para expressar :

Passo 3

Agora, substituímos sin^3(12 y) t^2 (-2 dtsin(12 y)) por -2 t^2 sin^2(12 y) dt na integral original. A expressão -2 t^2 (1 - t^2) dt = -2 (t^2 - t^4) dt fica:
Isso simplifica para:
Sabemos que , então substituindo:

Passo 4

Agora, vamos integrar termo a termo:
-2 integral (t^2 - t^4) dt = -2 ( t^33 - t^55 ) + C
Distribuindo o -2:
-23 t^3 + 25 t^5 + C

Resposta

Substituindo integral sin^3(12 y) cos^2(12 y) dy = 25 cos^5(12 y) - 23 cos^3(12 y) + C de volta, a integral fica:

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