Calcule as seguintes integrais: integral d t(t+2)^2(t+1)

Passo 1

Então, a gente precisa calcular a integral de em relação a . Para resolver isso, vamos usar o método de frações parciais, que ajuda a quebrar frações complicadas em partes mais simples que a gente consegue integrar mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração em frações menores. A ideia é escrever essa fração como a soma de termos com denominadores mais simples, tipo , e .

Passo 3

Então, assumimos que:
1(t+2)^2(t+1) = At+1 + Bt+2 + C(t+2)^2
Agora, vamos multiplicar os dois lados da equação por 1 = A(t+2)^2 + B(t+1)(t+2) + C(t+1) para eliminar os denominadores:

Passo 4

Para encontrar os valores de 1 = A(1)^2 + B(0) + C(0) Rightarrow A = 1 , 1 = A(0) + B(-1)(0) + C(-1) Rightarrow C = -1 e 1 = A(2)^2 + B(1)(2) + C(1) Rightarrow 1 = 4A + 2B + C , vamos escolher valores de 1 = 4(1) + 2B + (-1) Rightarrow 1 = 3 + 2B Rightarrow 2B = -2 Rightarrow B = -1 que simplifiquem a equação. Por exemplo:
  • Se :
  • Se :
Para encontrar , escolhemos outro valor, digamos :
Sabemos que e , então:

Passo 5

Agora temos os valores:
A = 1, B = -1, C = -1
Então, a decomposição fica:
1(t+2)^2(t+1) = 1t+1 - 1t+2 - 1(t+2)^2

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1t+1 , dt = ln|t+1| + C1
integral -1t+2 , dt = -ln|t+2| + C2
integral -1(t+2)^2 , dt = 1t+2 + C3

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
ln|t+1| - ln|t+2| + 1t+2 + C
Onde é a constante de integração.

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