Calcule as seguintes integrais: integral0^5 (x^2-3) d xx^3+4 x^2+5 x+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que você me mandou:
integral0^5 x^2-3x^3+4x^2+5x+2 , dx
Aqui estamos lidando com uma função racional, que é basicamente um quociente de dois polinômios. Para resolver esse tipo de integral, vamos precisar fatorar o denominador e então usar a fração parcial para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador (-1)^3 + 4(-1)^2 + 5(-1) + 2 = -1 + 4 - 5 + 2 = 0 . Procuramos por raízes racionais possíveis que são fatores do termo constante (2) divididos pelos fatores do coeficiente líder (1). Ou seja, testamos x^3 + 4x^2 + 5x + 2 = (x + 1)(x^2 + 3x + 2) .
Testando x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) :
x^3 + 4x^2 + 5x + 2 = (x + 1)^2(x + 2)
Então, é um fator.
Agora, fazemos a divisão polinomial ou sintética para fatorar o polinômio:
Fatorando mais :
Então, o denominador fatora-se como:

Passo 3

Agora que temos o denominador fatorado, vamos usar a fração parcial para decompor a integral. Queremos expressar:
x^2 - 3(x + 1)^2(x + 2) = Ax + 1 + B(x + 1)^2 + Cx + 2
Aqui, , e são constantes que vamos determinar.

Passo 4

Vamos encontrar os valores de x^2 - 3 = A(x + 1)(x + 2) + B(x + 2) + C(x + 1)^2 , x^2 - 3 = A(x^2 + 3x + 2) + B(x + 2) + C(x^2 + 2x + 1) e x^2 - 3 = (A + C)x^2 + (3A + B + 2C)x + (2A + 2B + C) . Multiplicamos ambos os lados da equação por A + C = 1 (coeficiente de x^2) 3A + B + 2C = 0 (coeficiente de x) 2A + 2B + C = -3 (termo constante) para eliminar os denominadores:
A = 1, B = -3, C = 0
Expandindo e simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de :
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos:

Passo 5

Agora que temos x^2 - 3(x + 1)^2(x + 2) = 1x + 1 + -3(x + 1)^2 + 0x + 2 = 1x + 1 - 3(x + 1)^2 , integral ( 1x + 1 - 3(x + 1)^2 ) dx e ln|x + 1| + 3x + 1 + C , substituímos de volta na fração parcial:
Agora, integramos cada termo separadamente:
A integral de é e a integral de é . Portanto:
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral definida de 0 a 5 é:
[ ln(x + 1) + 3x + 1 ]0^5 = ( ln(6) + 36 ) - ( ln(1) + 31 ) = ln(6) + 0.5 - 0 - 3 = ln(6) - 2.5
Portanto, o resultado é:
ln(6) - 2.5

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