Beleza, vamos resolver essa integral que você me mandou:
Aqui estamos lidando com uma função racional, que é basicamente um quociente de dois polinômios. Para resolver esse tipo de integral, vamos precisar fatorar o denominador e então usar a fração parcial para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador. Procuramos por raízes racionais possíveis que são fatores do termo constante (2) divididos pelos fatores do coeficiente líder (1). Ou seja, testamos .
Testando :
Então, é um fator.
Agora, fazemos a divisão polinomial ou sintética para fatorar o polinômio:
Fatorando mais :
Então, o denominador fatora-se como:
Passo 3
Agora que temos o denominador fatorado, vamos usar a fração parcial para decompor a integral. Queremos expressar:
Aqui, , e são constantes que vamos determinar.
Passo 4
Vamos encontrar os valores de , e . Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Expandindo e simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de :
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos:
Passo 5
Agora que temos x^2 - 3(x + 1)^2(x + 2) = 1x + 1 + -3(x + 1)^2 + 0x + 2 = 1x + 1 - 3(x + 1)^2 , integral ( 1x + 1 - 3(x + 1)^2 ) dx e ln|x + 1| + 3x + 1 + C , substituímos de volta na fração parcial: