Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que você me mandou:
Aqui estamos lidando com uma função racional, que é basicamente um quociente de dois polinômios. Para resolver esse tipo de integral, vamos precisar fatorar o denominador e então usar a fração parcial para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Procuramos por raízes racionais possíveis que são fatores do termo constante (2) divididos pelos fatores do coeficiente líder (1). Ou seja, testamos .
Testando :
Então, é um fator.
Agora, fazemos a divisão polinomial ou sintética para fatorar o polinômio:
Fatorando mais :
Então, o denominador fatora-se como:

Passo 3

Agora que temos o denominador fatorado, vamos usar a fração parcial para decompor a integral. Queremos expressar:
Aqui, , e são constantes que vamos determinar.

Passo 4

Vamos encontrar os valores de , e . Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Expandindo e simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de :
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos:

Passo 5

Agora que temos , e , substituímos de volta na fração parcial:
Agora, integramos cada termo separadamente:
A integral de é e a integral de é . Portanto:
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral definida de 0 a 5 é:
Portanto, o resultado é:

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