Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral definida de de até . Vamos usar frações parciais, uma técnica de cálculo integral que ajuda a dividir uma fração complicada em partes mais simples que a gente consegue integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador para facilitar a divisão. O denominador é . Podemos tirar um em evidência:
Agora, o polinômio quadrático pode ser fatorado ainda mais:
Então, o denominador fica:

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração original como soma de frações parciais. Queremos encontrar constantes , e tais que:
Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Vamos expandir os termos do lado direito:
Juntando tudo:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes do lado direito com os do lado esquerdo:

Passo 6

Resolvendo as equações:
  1. De , temos .
  2. Substituindo na primeira equação: .
  3. Substituindo e na segunda equação: .

Passo 7

Então, nossa decomposição em frações parciais fica:

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
A integral de é e a integral de é .

Passo 9

Então, a integral definida de 1 a 4 fica:

Passo 10

Agora, calculamos nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo os dois valores:

Resposta

A integral vale .

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Calcule as seguintes integrais:
Marque a opção que indica todas as assintotas do gráfico de
(A) Assintotas verticais: e ; assintotas horizontais: e .
(B) Assíntotas verticais: ; assintota horizontal:
© Assintotas verticais: e ; assíntota horizontal: .
(D) Assintotas verticais: e ; assíntota horizontal: .
Calcule as seguintes integrais:
Calcule as seguintes integrais: