Calcule as seguintes integrais: integral1^4 (2 x^2+13 x+18) d xx^3+6 x^2+9 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral definida de de até . Vamos usar frações parciais, uma técnica de cálculo integral que ajuda a dividir uma fração complicada em partes mais simples que a gente consegue integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador para facilitar a divisão. O denominador é x^3 + 6x^2 + 9x = x(x^2 + 6x + 9) . Podemos tirar um x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 em evidência:
x(x + 3)^2
Agora, o polinômio quadrático pode ser fatorado ainda mais:
Então, o denominador fica:

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração original como soma de frações parciais. Queremos encontrar constantes 2x^2 + 13x + 18x(x + 3)^2 = Ax + Bx + 3 + C(x + 3)^2 , 2x^2 + 13x + 18 = A(x + 3)^2 + Bx(x + 3) + Cx e tais que:
Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Vamos expandir os termos do lado direito:
A(x + 3)^2 = A(x^2 + 6x + 9) = Ax^2 + 6Ax + 9A
Bx(x + 3) = Bx^2 + 3Bx
Cx = Cx
Juntando tudo:
Ax^2 + 6Ax + 9A + Bx^2 + 3Bx + Cx = (A + B)x^2 + (6A + 3B + C)x + 9A

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes do lado direito com os do lado esquerdo:
A + B = 2 (coeficiente de x^2)
6A + 3B + C = 13 (coeficiente de x)
9A = 18 (termo constante)

Passo 6

Resolvendo as equações:
  1. De , temos .
  2. Substituindo na primeira equação: .
  3. Substituindo e na segunda equação: .

Passo 7

Então, nossa decomposição em frações parciais fica:
2x^2 + 13x + 18x(x + 3)^2 = 2x + 1(x + 3)^2

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 2x , dx + integral 1(x + 3)^2 , dx
A integral de é e a integral de é .

Passo 9

Então, a integral definida de 1 a 4 fica:
2 ln|x| - 1x + 3 gr|1^4

Passo 10

Agora, calculamos nos limites:
Para 2 ln(4) - 17 :
2 ln(1) - 14 = 0 - 14 = -14
Para (2 ln(4) - 17) - (-14) = 2 ln(4) - 17 + 14 :
Subtraindo os dois valores:

Resposta

A integral vale .

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