Marque a opção que indica todas as assintotas do gráfico de f(x) = 2/(x-5) + 1/(x-2) = (2x + x - 5)/((x-5)(x-2)) = 3x/(x-2x)
(A) Assintotas verticais: x = -5 e x = 2; assintotas horizontais: y = 2 e y = 1.
(B) Assíntotas verticais: x = 0; assintota horizontal: y = 5 e y = 2
© Assintotas verticais: x = 1 e x = 2; assíntota horizontal: y = 5.
(D) Assintotas verticais: x = 5 e x = 2; assíntota horizontal: y = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre assíntotas de uma função racional. O enunciado pede para identificar todas as assíntotas do gráfico da função . Para isso, vamos precisar entender o que são assíntotas verticais e horizontais e como encontrá-las em funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos juntar as duas frações para simplificar a função. Temos:
Simplificando mais:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador é zero, mas o numerador não é zero. Então, vamos resolver:
Portanto, as assíntotas verticais estão em e .

Passo 4

Em seguida, vamos procurar a assíntota horizontal. Para isso, comparamos os graus do numerador e do denominador. O grau do numerador é 1 (porque ) e o grau do denominador é 2 (porque é o termo de maior grau).
Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, a assíntota horizontal é .

Passo 5

Vamos conferir as opções:
  • Opção (A): Assíntotas verticais: e ; assíntotas horizontais: e . Errado.
  • Opção (B): Assíntotas verticais: ; assíntotas horizontais: e . Errado.
  • Opção ©: Assíntotas verticais: e ; assíntota horizontal: . Errado.
  • Opção (D): Assíntotas verticais: e ; assíntota horizontal: . Correto.

Resposta

A opção correta é a (D): Assíntotas verticais em e ; assíntota horizontal em .

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