Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo de integrais, mais especificamente usando frações parciais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Perceba que podemos fatorar um :
Agora, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos usar a técnica de frações parciais para decompor . Assumimos que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos do lado esquerdo com os do lado direito:
Resolvendo, encontramos , e .

Passo 6

Substituindo os valores encontrados de volta na decomposição:
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos resolver cada parte separadamente. A primeira integral é direta:
Para a segunda integral, fazemos uma substituição. Seja , então ou . Assim:

Resposta

Juntando tudo, a solução da integral é:

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Calcule as seguintes integrais:
Considere a função . Verifique que .