Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo de integrais, mais especificamente usando frações parciais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Perceba que podemos fatorar um :
Agora, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos usar a técnica de frações parciais para decompor . Assumimos que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos do lado esquerdo com os do lado direito:
Resolvendo, encontramos A = 1, B = -2 e C = 0.
Passo 6
Substituindo os valores encontrados de volta na decomposição:
1x(2x^2 + 1) = 1x + -2x2x^2 + 1
Então, a integral fica:
integral 1x dx - 2 integral x2x^2 + 1 dx
Passo 7
Vamos resolver cada parte separadamente. A primeira integral é direta:
integral 1x dx = ln|x| + C
Para a segunda integral, fazemos uma substituição. Seja u = 2x^2 + 1, então du = 4x dx ou du4 = x dx. Assim:
integral x2x^2 + 1 dx = 14 integral duu = 14 ln|u| + C = 14 ln|2x^2 + 1| + C