Calcule as seguintes integrais: integral d x2 x^3+x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral dx2x^3 + x. Esse exercício envolve cálculo de integrais, mais especificamente usando frações parciais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador 2x^3 + x. Perceba que podemos fatorar um x:
2x^3 + x = x(2x^2 + 1)
Agora, a integral fica:
integral dxx(2x^2 + 1)

Passo 3

Agora, vamos usar a técnica de frações parciais para decompor 1x(2x^2 + 1). Assumimos que:
1x(2x^2 + 1) = Ax + Bx + C2x^2 + 1
Nosso objetivo é encontrar os valores de A, B e C.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por x(2x^2 + 1) para eliminar os denominadores:
1 = A(2x^2 + 1) + (Bx + C)x
Expandindo:
1 = 2A x^2 + A + Bx^2 + Cx
Agrupando termos semelhantes:
(2A + B)x^2 + Cx + A = 1

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos do lado esquerdo com os do lado direito:
2A + B = 0 C = 0 A = 1
Resolvendo, encontramos A = 1, B = -2 e C = 0.

Passo 6

Substituindo os valores encontrados de volta na decomposição:
1x(2x^2 + 1) = 1x + -2x2x^2 + 1
Então, a integral fica:
integral 1x dx - 2 integral x2x^2 + 1 dx

Passo 7

Vamos resolver cada parte separadamente. A primeira integral é direta:
integral 1x dx = ln|x| + C
Para a segunda integral, fazemos uma substituição. Seja u = 2x^2 + 1, então du = 4x dx ou du4 = x dx. Assim:
integral x2x^2 + 1 dx = 14 integral duu = 14 ln|u| + C = 14 ln|2x^2 + 1| + C

Resposta

Juntando tudo, a solução da integral é:
ln|x| - 12 ln|2x^2 + 1| + C

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