Calcule as seguintes integrais: integral 3 x^2-x+1x^3-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral de uma função racional, que é basicamente uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver esse tipo de integral, vamos precisar usar frações parciais, uma técnica que nos ajuda a simplificar a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 - x^2 = x^2(x - 1) . Podemos tirar 3x^2 - x + 1x^2(x - 1) como fator comum:
Então, a fração original fica:

Passo 3

Agora, queremos expressar essa fração como uma soma de frações mais simples. Usamos o método de frações parciais, supondo que:
3x^2 - x + 1x^2(x - 1) = Ax + Bx^2 + Cx - 1
onde , e são constantes que precisamos determinar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por 3x^2 - x + 1 = A x (x - 1) + B (x - 1) + C x^2 para eliminar os denominadores:

Passo 5

Expandimos e simplificamos o lado direito:
3x^2 - x + 1 = A x^2 - A x + B x - B + C x^2
Agrupando os termos semelhantes:
3x^2 - x + 1 = (A + C) x^2 + ( - A + B ) x - B

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau:
A + C = 3 - A + B = -1 - B = 1
Resolvendo o sistema de equações:
Da terceira equação: .
Substituindo na segunda equação: .
Finalmente, substituindo na primeira equação: .

Passo 7

Com os valores de 0x + -1x^2 + 3x - 1 = -1x^2 + 3x - 1 , e encontrados, a fração original fica:

Passo 8

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral ( -1x^2 + 3x - 1 ) dx = integral -1x^2 dx + integral 3x - 1 dx

Passo 9

Calculando as integrais:
integral -1x^2 dx = integral -x^-2 dx = x^-1 -1 + C = 1x + C
integral 3x - 1 dx = 3 integral 1x - 1 dx = 3 ln|x - 1| + C

Passo 10

Juntando tudo, a integral completa é:
1x + 3 ln|x - 1| + C

Resposta

integral 3x^2 - x + 1x^3 - x^2 , dx = 1x + 3 ln|x - 1| + C

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