Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral de uma função racional, que é basicamente uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver esse tipo de integral, vamos precisar usar frações parciais, uma técnica que nos ajuda a simplificar a expressão para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Podemos tirar como fator comum:
Então, a fração original fica:
Passo 3
Agora, queremos expressar essa fração como uma soma de frações mais simples. Usamos o método de frações parciais, supondo que:
onde , e são constantes que precisamos determinar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Passo 5
Expandimos e simplificamos o lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau:
Resolvendo o sistema de equações:
Da terceira equação: .
Substituindo na segunda equação: .
Finalmente, substituindo na primeira equação: .
Passo 7
Com os valores de 0x + -1x^2 + 3x - 1 = -1x^2 + 3x - 1 , e encontrados, a fração original fica:
Passo 8
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral ( -1x^2 + 3x - 1 ) dx = integral -1x^2 dx + integral 3x - 1 dx
Passo 9
Calculando as integrais:
integral -1x^2 dx = integral -x^-2 dx = x^-1 -1 + C = 1x + C
integral 3x - 1 dx = 3 integral 1x - 1 dx = 3 ln|x - 1| + C
Passo 10
Juntando tudo, a integral completa é:
1x + 3 ln|x - 1| + C
Resposta
integral 3x^2 - x + 1x^3 - x^2 , dx = 1x + 3 ln|x - 1| + C