Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral de uma função racional, que é basicamente uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver esse tipo de integral, vamos precisar usar frações parciais, uma técnica que nos ajuda a simplificar a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Podemos tirar como fator comum:
Então, a fração original fica:

Passo 3

Agora, queremos expressar essa fração como uma soma de frações mais simples. Usamos o método de frações parciais, supondo que:
onde , e são constantes que precisamos determinar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:

Passo 5

Expandimos e simplificamos o lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau:
Resolvendo o sistema de equações:
Da terceira equação: .
Substituindo na segunda equação: .
Finalmente, substituindo na primeira equação: .

Passo 7

Com os valores de , e encontrados, a fração original fica:

Passo 8

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:

Passo 9

Calculando as integrais:

Passo 10

Juntando tudo, a integral completa é:

Resposta

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