Calcule as seguintes integrais: integral d x9 x^4+x^2

Passo 1

Vamos resolver a integral . Para isso, vamos utilizar o cálculo de integrais com a técnica de frações parciais. Precisamos fatorar o denominador e decompor a fração para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador 9x^4 + x^2 = x^2(9x^2 + 1) . Podemos fatorar um integral dxx^2(9x^2 + 1) em comum:
Assim, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração 1x^2(9x^2 + 1) = Ax + Bx^2 + Cx + D9x^2 + 1 em frações parciais. Assumimos que:
1 = A x (9x^2 + 1) + B(9x^2 + 1) + (Cx + D) x^2
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Vamos expandir e agrupar os termos:
1 = A cdot 9x^3 + A x + 9B x^2 + B + C x^3 + D x^2
Agrupando por potências de 1 = (9A + C) x^3 + (9B + D) x^2 + A x + B :

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
9A + C = 0 9B + D = 0 A = 0 B = 1
Resolvendo o sistema:
  • De , temos (da primeira equação).
  • De , temos (da segunda equação).

Passo 6

Substituindo os valores encontrados na decomposição de frações parciais:
1x^2(9x^2 + 1) = 0x + 1x^2 + 0x - 99x^2 + 1 = 1x^2 - 99x^2 + 1

Passo 7

Agora, podemos integrar termo a termo:
integral 1x^2 dx - 9 integral 19x^2 + 1 dx
Sabemos que:
integral 1x^2 dx = -1x + C
Para a segunda integral, fazemos uma substituição:
u = 3x implies du = 3 dx implies dx = du3
Então,
integral 19x^2 + 1 dx = integral 1u^2 + 1 cdot du3 = 13 arctan(u) + C = 13 arctan(3x) + C

Passo 8

Substituindo de volta na integral original:
-1x - 9 cdot 13 arctan(3x) + C = -1x - 3 arctan(3x) + C

Resposta

integral dx9x^4 + x^2 = -1x - 3 arctan(3x) + C

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