Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Vamos resolver a integral
. Para isso, vamos utilizar o cálculo de integrais com a técnica de frações parciais. Precisamos fatorar o denominador e decompor a fração para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Podemos fatorar um
em comum:
Assim, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor a fração
em frações parciais. Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Vamos expandir e agrupar os termos:
Agrupando por potências de
:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
Resolvendo o sistema:
- De
, temos (da primeira equação). - De
, temos (da segunda equação).
Passo 6
Substituindo os valores encontrados na decomposição de frações parciais:
Passo 7
Agora, podemos integrar termo a termo:
Sabemos que:
Para a segunda integral, fazemos uma substituição:
Então,
Passo 8
Substituindo de volta na integral original: