Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Vamos resolver a integral . Para isso, vamos utilizar o cálculo de integrais com a técnica de frações parciais. Precisamos fatorar o denominador e decompor a fração para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Podemos fatorar um em comum:
Assim, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Vamos expandir e agrupar os termos:
Agrupando por potências de :

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
Resolvendo o sistema:
  • De , temos (da primeira equação).
  • De , temos (da segunda equação).

Passo 6

Substituindo os valores encontrados na decomposição de frações parciais:

Passo 7

Agora, podemos integrar termo a termo:
Sabemos que:
Para a segunda integral, fazemos uma substituição:
Então,

Passo 8

Substituindo de volta na integral original:

Resposta

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Calcule as seguintes integrais:
Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada uma das funções:
Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de nos pontos de abscissas indicados:

Determine cada um dos limites dados a seguir.
(a) ,