Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada uma das funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente nas derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções de várias variáveis e aplicar as regras de derivação passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, e .
Derivada parcial de em relação a ( ):
Aderivada de em relação a é (usando a regra da cadeia, já que é constante em relação a ).
A derivada de em relação a é (já que é constante em relação a ).
Então:
Derivada parcial de em relação a ( ):
Aderivada de em relação a é .
A derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia, derivada de é e multiplicamos por ).
Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem: , , e .
Segunda derivada parcial de em relação a ( ):
Derivamos em relação a .
Aderivada de em relação a é .
Aderivada de em relação a é (já que não depende de ).
Então:
Derivada mista de ( ):
Derivamos em relação a .
Aderivada de em relação a é .
Aderivada de em relação a é .
Então:
Derivada mista de ( ):
Derivamos em relação a .
Aderivada de em relação a é .
Aderivada de em relação a é .
Então:
Segunda derivada parcial de em relação a ( ):
Derivamos em relação a .
Aderivada de em relação a é .
Aderivada de em relação a é .
Então:

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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Obtenha a derivada de cada função a seguir:
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