Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada uma das funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente nas derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções de várias variáveis e aplicar as regras de derivação passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja,
e
.
Derivada parcial de
em relação a
(
):
Aderivada de
em relação a
é
(usando a regra da cadeia, já que
é constante em relação a
).
A derivada de
em relação a
é
(já que
é constante em relação a
).
Então:
Derivada parcial de
em relação a
(
):
Aderivada de
em relação a
é
.
A derivada de
em relação a
é
(usando a regra da cadeia, derivada de
é
e multiplicamos por
).
Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem:
,
,
e
.
Segunda derivada parcial de
em relação a
(
):
Derivamos
em relação a
.
Aderivada de
em relação a
é
.
Aderivada de
em relação a
é
(já que não depende de
).
Então:
Derivada mista de
(
):
Derivamos
em relação a
.
Aderivada de
em relação a
é
.
Aderivada de
em relação a
é
.
Então:
Derivada mista de
(
):
Derivamos
em relação a
.
Aderivada de
em relação a
é
.
Aderivada de
em relação a
é
.
Então:
Segunda derivada parcial de
em relação a
(
):
Derivamos
em relação a
.
Aderivada de
em relação a
é
.
Aderivada de
em relação a
é
.
Então:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são:
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Calcule as seguintes integrais:
Obtenha a derivada de cada função a seguir:
Calcule as seguintes integrais:
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