Calcule as seguintes integrais: integral0^1 (3 x^2+7 x) d xx^3+6 x^2+11 x+6

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral definida:
integral0^1 3x^2 + 7xx^3 + 6x^2 + 11x + 6 , dx
Para resolver isso, vamos usar o conceito de frações parciais, que faz parte do conteúdo de cálculo integral. Precisaremos fatorar o denominador e então decompor a fração em termos mais simples que sejam mais fáceis de integrar.

Passo 2

Vamos começar fatorando o denominador x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = (x + 1)(x^2 + 5x + 6) . Para isso, procuramos as raízes desse polinômio. Testando valores possíveis, encontramos que x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) é uma raiz, ou seja, x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = (x + 1)(x + 2)(x + 3) é um fator.
Dividindo o polinômio por , obtemos:
Agora, fatoramos o polinômio quadrático:
Então, o denominador completamente fatorado é:

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração original em frações parciais. Queremos encontrar constantes 3x^2 + 7x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = Ax + 1 + Bx + 2 + Cx + 3 , 3x^2 + 7x = A(x + 2)(x + 3) + B(x + 1)(x + 3) + C(x + 1)(x + 2) e tais que:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum , temos:

Passo 4

Para encontrar 3(-1)^2 + 7(-1) = A(1)(2) + 0 + 0 3 - 7 = 2A -4 = 2A A = -2 , 3(-2)^2 + 7(-2) = 0 + B(-1)(1) + 0 12 - 14 = -B -2 = -B B = 2 e 3(-3)^2 + 7(-3) = 0 + 0 + C(-2)(-1) 27 - 21 = 2C 6 = 2C C = 3 , podemos escolher valores de que simplificam a equação:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Agora que temos os valores de 3x^2 + 7x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = -2x + 1 + 2x + 2 + 3x + 3 , e , podemos escrever a fração original como:

Passo 6

Vamos agora integrar cada termo separadamente:
integral0^1 ( -2x + 1 + 2x + 2 + 3x + 3 ) dx = -2 integral0^1 1x + 1 dx + 2 integral0^1 1x + 2 dx + 3 integral0^1 1x + 3 dx
A integral de -2 [ln(x + 1)]0^1 + 2 [ln(x + 2)]0^1 + 3 [ln(x + 3)]0^1 é , então:

Passo 7

Agora, avaliamos as integrais nos limites de 0 a 1:
-2 [ln(2) - ln(1)] + 2 [ln(3) - ln(2)] + 3 [ln(4) - ln(3)]
Sabemos que -2 ln(2) + 2 ln(3) - 2 ln(2) + 3 ln(4) - 3 ln(3) , então simplificamos:
(-2 ln2 - 2 ln2) + (2 ln3 - 3 ln3) + 3 ln4 = -4 ln2 - ln3 + 3 ln4
Agrupando termos semelhantes:
-4 ln2 - ln3 + 6 ln2 = 2 ln2 - ln3
Como , substituímos:

Resposta

A integral vale .

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