Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral definida:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de frações parciais, que faz parte do conteúdo de cálculo integral. Precisaremos fatorar o denominador e então decompor a fração em termos mais simples que sejam mais fáceis de integrar.
Passo 2
Vamos começar fatorando o denominador
. Para isso, procuramos as raízes desse polinômio. Testando valores possíveis, encontramos que
é uma raiz, ou seja,
é um fator.
Dividindo o polinômio por
, obtemos:
Agora, fatoramos o polinômio quadrático:
Então, o denominador completamente fatorado é:
Passo 3
Agora, vamos decompor a fração original em frações parciais. Queremos encontrar constantes
,
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum
, temos:
Passo 4
Para encontrar
,
e
, podemos escolher valores de
que simplificam a equação:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora que temos os valores de
,
e
, podemos escrever a fração original como:
Passo 6
Vamos agora integrar cada termo separadamente:
A integral de
é
, então:
Passo 7
Agora, avaliamos as integrais nos limites de 0 a 1:
Sabemos que
, então simplificamos:
Agrupando termos semelhantes:
Como
, substituímos:
Resposta
A integral vale
.
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Calcule as seguintes integrais:
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Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de
nos pontos de abscissas indicados: