Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral definida:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de frações parciais, que faz parte do conteúdo de cálculo integral. Precisaremos fatorar o denominador e então decompor a fração em termos mais simples que sejam mais fáceis de integrar.

Passo 2

Vamos começar fatorando o denominador . Para isso, procuramos as raízes desse polinômio. Testando valores possíveis, encontramos que é uma raiz, ou seja, é um fator.
Dividindo o polinômio por , obtemos:
Agora, fatoramos o polinômio quadrático:
Então, o denominador completamente fatorado é:

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração original em frações parciais. Queremos encontrar constantes , e tais que:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum , temos:

Passo 4

Para encontrar , e , podemos escolher valores de que simplificam a equação:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Agora que temos os valores de , e , podemos escrever a fração original como:

Passo 6

Vamos agora integrar cada termo separadamente:
A integral de é , então:

Passo 7

Agora, avaliamos as integrais nos limites de 0 a 1:
Sabemos que , então simplificamos:
Agrupando termos semelhantes:
Como , substituímos:

Resposta

A integral vale .

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