Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de nos pontos de abscissas indicados:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A demanda aqui é encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto onde a abscissa (o valor de ) é igual a 1. Para isso, vamos precisar entender conceitos de derivadas, já que a derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente nesse ponto. Então, vamos calcular e para montar a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de . A abscissa nos diz que queremos o valor da função quando . Supondo que a função seja conhecida ou que já tenha sido fornecida, substituímos por 1:
Aqui, usamos a constante , que é aproximadamente 2,718, e aparece frequentemente em funções exponenciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função em , ou seja, . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente no ponto considerado. Novamente, assumindo que está disponível ou que sabemos como derivar , substituímos por 1:
Esse valor negativo indica que a reta está descendo no ponto .

Passo 4

Com o valor de e em mãos, podemos usar a fórmula ponto-inclinação da reta para escrever a equação da reta tangente. A fórmula é:
Onde:
  • é o ponto de tangência, que neste caso é .
  • é a inclinação da reta, que é .
Substituindo esses valores na fórmula, temos:

Resposta

A equação da reta tangente é:

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Determine cada um dos limites dados a seguir.
(a) ,
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