Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de
nos pontos de abscissas indicados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A demanda aqui é encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto onde a abscissa (o valor de
) é igual a 1. Para isso, vamos precisar entender conceitos de derivadas, já que a derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente nesse ponto. Então, vamos calcular
e
para montar a equação da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
. A abscissa
nos diz que queremos o valor da função
quando
. Supondo que a função seja conhecida ou que já tenha sido fornecida, substituímos
por 1:
Aqui, usamos a constante
, que é aproximadamente 2,718, e aparece frequentemente em funções exponenciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função
em
, ou seja,
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente no ponto considerado. Novamente, assumindo que
está disponível ou que sabemos como derivar
, substituímos
por 1:
Esse valor negativo indica que a reta está descendo no ponto
.
Passo 4
Com o valor de
e
em mãos, podemos usar a fórmula ponto-inclinação da reta para escrever a equação da reta tangente. A fórmula é:
Onde:
-
é o ponto de tangência, que neste caso é . -
é a inclinação da reta, que é .
Substituindo esses valores na fórmula, temos:
Resposta
A equação da reta tangente é:
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(a) ,
(a)
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