Esboce, pinte a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área da mesma usando integral.
b)
e
;
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar e pintar a região que fica limitada pelas curvas dadas:
,
(que é o eixo
),
e
. Depois, vamos calcular a área dessa região usando integrais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração definida para encontrar áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são essas curvas:
-
: É uma reta que intercepta o eixo no ponto e tem inclinação 1. -
: É o eixo , uma linha horizontal. -
e : São linhas verticais que limitam a região no eixo .
Vamos esboçar essas curvas para visualizar a região que queremos pintar.
Passo 3
Agora, vamos identificar a área que está entre
e
. Nessa faixa de
, a curva
está sempre acima do eixo
(
). Isso significa que, para calcular a área, vamos integrar a função
de
até
.
Passo 4
Vamos montar a integral para calcular a área:
Isso porque a função que está no topo é
e a função de baixo é
.
Passo 5
Agora, vamos calcular essa integral. Primeiro, encontramos a antiderivada de
:
Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de integração, de
a
:
Calculando cada parte:
Como área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é de
unidades quadradas.