Esboce, pinte a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área da mesma usando integral.
b) y = x + 2, y = 0, x = -4 e x = -1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar e pintar a região que fica limitada pelas curvas dadas: , (que é o eixo ), e . Depois, vamos calcular a área dessa região usando integrais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração definida para encontrar áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são essas curvas:
  1. : É uma reta que intercepta o eixo no ponto e tem inclinação 1.
  2. : É o eixo , uma linha horizontal.
  3. e : São linhas verticais que limitam a região no eixo .
Vamos esboçar essas curvas para visualizar a região que queremos pintar.

Passo 3

Agora, vamos identificar a área que está entre e . Nessa faixa de , a curva está sempre acima do eixo ( ). Isso significa que, para calcular a área, vamos integrar a função de até .

Passo 4

Vamos montar a integral para calcular a área:
Á
Isso porque a função que está no topo é e a função de baixo é .

Passo 5

Agora, vamos calcular essa integral. Primeiro, encontramos a antiderivada de :
Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de integração, de a :
Calculando cada parte:
Como área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
Á

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é de unidades quadradas.

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