Calcule as seguintes integrais: integral d xx(ln x)^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve a função logarítmica natural ( ) e precisamos usar algumas técnicas de substituição para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir dt = 1x dx Rightarrow dx = x , dt . Quando fazemos isso, precisamos encontrar a derivada de dt = 1x dx Rightarrow dxx = dt em relação a . Então, derivando ambos os lados:
Mas como , temos que:

Passo 3

Agora, substituímos na integral original:
integral dxx(ln x)^4 = integral dtt^4
Isso simplifica a nossa integral para uma forma mais fácil de resolver.

Passo 4

Vamos resolver a integral integral t^-4 dt = t^-3-3 + C = -13t^3 + C . Podemos reescrever como , então:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos voltar para a variável original -13t^3 + C = -13(ln x)^3 + C . Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A integral -13(ln x)^3 + C é igual a:

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