Calcule as seguintes integrais.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que propõe calcular a seguinte integral dupla:
Esse problema pertence ao estudo de integrais múltiplas na matéria de cálculo. Para solucioná-lo, vamos precisar entender como manipular a ordem de integração para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, analisamos a integral dada:
Aqui, a variável varia de 0 a 1, e para cada valor de , a variável varia de a 1. Para facilitar a resolução, vamos trocar a ordem de integração. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 3

Ao trocar a ordem de integração, precisamos redefinir os limites das integrais. A nova configuração será:
Observe que, agora, para cada valor de entre 0 e 1, a variável varia de 0 a . Como a função não depende de , podemos simplificar a integral interna:
Portanto, a integral dupla se reduz a uma integral simples:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral resultante:
A antiderivada de é . Aplicando os limites de integração:
Sabemos que , então:

Resposta

A integral dupla calculada é igual a .

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Defina Ponto de sela e dê sua compreensão sobre o tema. (Vale 0,25pts.)
Responda: (Vale 0,75pts.)
(b) O que é um ponto crítico de ?
Calcule as seguintes integrais.
onde é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide .
Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto