Vamos resolver o exercício que propõe calcular a seguinte integral dupla:
Esse problema pertence ao estudo de integrais múltiplas na matéria de cálculo. Para solucioná-lo, vamos precisar entender como manipular a ordem de integração para simplificar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, analisamos a integral dada:
Aqui, a variável varia de 0 a 1, e para cada valor de , a variável varia de a 1. Para facilitar a resolução, vamos trocar a ordem de integração. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .
Passo 3
Ao trocar a ordem de integração, precisamos redefinir os limites das integrais. A nova configuração será:
Observe que, agora, para cada valor de entre 0 e 1, a variável varia de 0 a . Como a função não depende de , podemos simplificar a integral interna:
Portanto, a integral dupla se reduz a uma integral simples:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral resultante:
A antiderivada de é . Aplicando os limites de integração: