Calcule as seguintes integrais.
integral0^1 integralx^1 sin yy d y d x

Passo 1

Vamos resolver o exercício que propõe calcular a seguinte integral dupla:
integral0^1 integralx^1 sin yy , dy , dx
Esse problema pertence ao estudo de integrais múltiplas na matéria de cálculo. Para solucioná-lo, vamos precisar entender como manipular a ordem de integração para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, analisamos a integral dada:
integral0^1 integralx^1 sin yy , dy , dx
Aqui, a variável varia de 0 a 1, e para cada valor de , a variável varia de a 1. Para facilitar a resolução, vamos trocar a ordem de integração. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 3

Ao trocar a ordem de integração, precisamos redefinir os limites das integrais. A nova configuração será:
integral0^1 integral0^y sin yy , dx , dy
Observe que, agora, para cada valor de integral0^y sin yy , dx = sin yy cdot (y - 0) = sin y entre 0 e 1, a variável integral0^1 sin y , dy varia de 0 a . Como a função não depende de , podemos simplificar a integral interna:
Portanto, a integral dupla se reduz a uma integral simples:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral resultante:
integral0^1 sin y , dy
A antiderivada de -cos y |0^1 = -cos(1) + cos(0) é -cos(1) + 1 = 1 - cos(1) . Aplicando os limites de integração:
Sabemos que , então:

Resposta

A integral dupla calculada é igual a .

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