Calcule as seguintes integrais:
integral raiz1+3 cos ^2 x sin (2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa questão envolve cálculo integral, mais especificamente o método de substituição. Vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, olhamos para a expressão dentro da raiz: u = 1 + 3 cos^2 x . Vamos chamar essa expressão de para facilitar a substituição. Então, seja

Passo 3

Agora, vamos derivar dudx = -6 cos x sin x em relação a du = -6 cos x sin x , dx para encontrar du = -3 sin(2x) , dx :
dx = -du3 sin(2x)
Isso significa que:
Observamos que , então podemos reescrever como:
Isolando :

Passo 4

Substituindo integral raizu cdot sin(2x) , dx = integral raizu cdot sin(2x) cdot (-du3 sin(2x)) e -13 integral raizu , du na integral original:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral raizu , du = integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C em relação a -13 cdot 23 u^3/2 + C = -29 u^3/2 + C :
Multiplicando pelo fator que saiu da substituição:

Passo 6

Finalmente, substituímos -29 (1 + 3 cos^2 x)^3/2 + C de volta na expressão original:

Resposta

A integral vale:
-29 (1 + 3 cos^2 x)^3/2 + C

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