Resolva os limites abaixo:

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse problema envolve o cálculo de limites que utilizam funções trigonométricas, especificamente o seno. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades dos limites envolvendo senos e aplicar a regra de L’Hôpital se necessário.

Passo 2

Primeiro, observamos que quando se aproxima de 0, tanto quanto também se aproximam de 0. Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo , o que significa que podemos aplicar a regra de L’Hôpital para calcular o limite.

Passo 3

A regra de L’Hôpital diz que se ou , então podemos calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente. Então, vamos derivar e .

Passo 4

Calculando as derivadas:

Passo 5

Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo as derivadas no limite original:

Passo 6

Simplificando a fração para :

Passo 7

Sabemos que , então substituímos na expressão:

Resposta

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Verifique que a função dada é uma solução da equação diferencial:
Determine que satisfaça as condições dadas.
Calcule as seguintes integrais:
Encontre .