Resolva os limites abaixo:
Passo 1
Vamos resolver o limite . Esse problema envolve o cálculo de limites que utilizam funções trigonométricas, especificamente o seno. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades dos limites envolvendo senos e aplicar a regra de L’Hôpital se necessário.
Passo 2
Primeiro, observamos que quando
se aproxima de 0, tanto quanto também se aproximam de 0. Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo
, o que significa que podemos aplicar a regra de L’Hôpital para calcular o limite.
Passo 3
A regra de L’Hôpital diz que se
ou
, então podemos calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente. Então, vamos derivar e .
Passo 4
Calculando as derivadas:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo as derivadas no limite original:
Passo 6
Simplificando a fração
para
:
Passo 7
Sabemos que
, então substituímos
na expressão:
Resposta
Exercícios relacionados
Verifique que a função dada é uma solução da equação diferencial:
Determine
que satisfaça as condições dadas.
Calcule as seguintes integrais:
Encontre
.