Esboce (qualitativamente) os gráficos das soluções
da EDO
para as seguintes condiçōes iniciais:(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais! A gente precisa esboçar os gráficos das soluções
da equação diferencial ordinária (EDO)
com a condição inicial
. Para isso, vamos precisar entender como as soluções se comportam com base na derivada dada pela função cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio da EDO. Esses são os valores de
onde a derivada
é zero, ou seja,
.
Resolvendo:
Então, os pontos de equilíbrio são
e
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento das soluções ao redor desses pontos de equilíbrio. Para isso, olhamos o sinal da derivada
:
- Quando
, ou seja, entre e , a função está aumentando. - Quando
, ou seja, entre e , a função está diminuindo.
Passo 4
Considerando a condição inicial
, vamos identificar onde ela se encontra em relação aos pontos de equilíbrio:
Sabemos que
, então
está entre
e
.
Passo 5
Dentro desse intervalo (
a
), a derivada
é positiva. Isso significa que a função
está aumentando com o passar do tempo.
Passo 6
À medida que
aumenta, ela se aproxima do próximo ponto de equilíbrio em
, onde
. Nesse ponto, a derivada se torna zero, o que significa que
irá se assentar nesse valor.
Passo 7
Portanto, o gráfico qualitativo de
começa em
, aumenta de forma contínua e se aproxima assintoticamente de
conforme
tende ao infinito.
Resposta
O gráfico da solução
com
começa próximo de
, aumenta continuamente e se aproxima de
conforme o tempo
aumenta, estabilizando-se nesse valor.
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Encontre
.
Calcule as seguintes integrais:
Resolva os PVI abaixo:
Resolva os PVI abaixo:
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