Esboce (qualitativamente) os gráficos das soluções da EDO para as seguintes condiçōes iniciais:(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais! A gente precisa esboçar os gráficos das soluções da equação diferencial ordinária (EDO) com a condição inicial . Para isso, vamos precisar entender como as soluções se comportam com base na derivada dada pela função cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio da EDO. Esses são os valores de onde a derivada é zero, ou seja, .
Resolvendo:
é
Então, os pontos de equilíbrio são e

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento das soluções ao redor desses pontos de equilíbrio. Para isso, olhamos o sinal da derivada :
  • Quando , ou seja, entre e , a função está aumentando.
  • Quando , ou seja, entre e , a função está diminuindo.

Passo 4

Considerando a condição inicial , vamos identificar onde ela se encontra em relação aos pontos de equilíbrio:
Sabemos que , então está entre e .

Passo 5

Dentro desse intervalo ( a ), a derivada é positiva. Isso significa que a função está aumentando com o passar do tempo.

Passo 6

À medida que aumenta, ela se aproxima do próximo ponto de equilíbrio em , onde . Nesse ponto, a derivada se torna zero, o que significa que irá se assentar nesse valor.

Passo 7

Portanto, o gráfico qualitativo de começa em , aumenta de forma contínua e se aproxima assintoticamente de conforme tende ao infinito.

Resposta

O gráfico da solução com começa próximo de , aumenta continuamente e se aproxima de conforme o tempo aumenta, estabilizando-se nesse valor.

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Calcule as seguintes integrais:
Resolva os PVI abaixo:
Resolva os PVI abaixo:
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