Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para calcular a integral de √(1 + sen(2x)) em relação a x. Vamos precisar usar trigonometria e técnicas de integração para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão dentro da raiz: 1 + sen(2x). Sabemos que a fórmula do seno de um ângulo duplo é sen(2x) = 2 senx cosx. Então, podemos reescrever a expressão assim:

Passo 3

Agora, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante:
Sabendo que , podemos simplificar isso para:
Ou seja:

Passo 4

Com isso, podemos substituir na nossa integral original:
Assumindo que seja positivo (o que depende do intervalo de x, mas vamos considerar positivo para simplificar), temos:

Passo 5

Agora, nossa integral fica muito mais simples:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
Então, juntando tudo:
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral de é:

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Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, calculando sua soma quando possível:
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