Calcule as seguintes integrais: integral[sen^2(x)1+cos ^2(x)] d x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo integral com funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma identidade trigonométrica básica: integral 1 - cos^2(x)1 + cos^2(x) dx . Substituindo na integral, temos:

Passo 3

Agora, vamos dividir o numerador pelo denominador:
1 - cos^2(x)1 + cos^2(x) = (1 + cos^2(x)) - 2cos^2(x)1 + cos^2(x) = 1 - 2cos^2(x)1 + cos^2(x)
Então, a integral fica:
integral (1 - 2cos^2(x)1 + cos^2(x)) dx = integral 1 , dx - 2integral cos^2(x)1 + cos^2(x) dx

Passo 4

A primeira parte, x - 2integral cos^2(x)1 + cos^2(x) dx , é fácil de integrar: é só .
Ficamos com:

Passo 5

Agora, vamos focar na integral integral 1 + cos(2x)21 + 1 + cos(2x)2 dx = integral 1 + cos(2x)2 + 1 + cos(2x) dx = integral 1 + cos(2x)3 + cos(2x) dx .
Para simplificar, usamos a identidade , que nos dá .
Substituindo na integral:

Passo 6

Vamos simplificar 1 + cos(2x)3 + cos(2x) = 1 - 23 + cos(2x) . Podemos reescrever essa fração como:
integral 1 + cos(2x)3 + cos(2x) dx = integral (1 - 23 + cos(2x)) dx = integral 1 , dx - 2integral 13 + cos(2x) dx
Assim, a integral fica:

Passo 7

A primeira parte é fácil: x - 2integral 13 + cos(2x) dx .
Ficamos com:

Passo 8

Para resolver integral 13 + 1 - t^21 + t^2 cdot dt1 + t^2 = integral 13(1 + t^2) + 1 - t^21 + t^2 cdot dt1 + t^2 = integral 1 + t^24 + 2t^2 cdot dt1 + t^2 = integral 12(t^2 + 2) dt , fazemos uma substituição trigonométrica. Vamos usar a identidade .
Seja , então , ou seja, .
Substituindo na integral:

Passo 9

Agora, a integral integral 1a^2 + t^2 dt = 1a tan^-1(ta) + C é uma forma padrão. Sabemos que:
integral 12(t^2 + 2) dt = 12raiz2 tan^-1(traiz2) + C
Aqui, 12raiz2 tan^-1(tan(x)raiz2) + C , então:
Substituindo :

Passo 10

Voltando à nossa expressão original, temos:
x - 2 ( 12raiz2 tan^-1(tan(x)raiz2) ) + C = x - 1raiz2 tan^-1(tan(x)raiz2) + C

Resposta

A integral é igual a:
x - 1raiz2 tan^-1(tan(x)raiz2) + C
onde é a constante de integração.

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