Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo integral com funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma identidade trigonométrica básica: . Substituindo na integral, temos:

Passo 3

Agora, vamos dividir o numerador pelo denominador:
Então, a integral fica:

Passo 4

A primeira parte, , é fácil de integrar: é só .
Ficamos com:

Passo 5

Agora, vamos focar na integral .
Para simplificar, usamos a identidade , que nos dá .
Substituindo na integral:

Passo 6

Vamos simplificar . Podemos reescrever essa fração como:
Assim, a integral fica:

Passo 7

A primeira parte é fácil: .
Ficamos com:

Passo 8

Para resolver , fazemos uma substituição trigonométrica. Vamos usar a identidade .
Seja , então , ou seja, .
Substituindo na integral:

Passo 9

Agora, a integral é uma forma padrão. Sabemos que:
Aqui, , então:
Substituindo :

Passo 10

Voltando à nossa expressão original, temos:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, calculando sua soma quando possível: