Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve cálculo integral com funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma identidade trigonométrica básica:
. Substituindo na integral, temos:
Passo 3
Agora, vamos dividir o numerador pelo denominador:
Então, a integral fica:
Passo 4
A primeira parte,
, é fácil de integrar: é só
.
Ficamos com:
Passo 5
Agora, vamos focar na integral
.
Para simplificar, usamos a identidade
, que nos dá
.
Substituindo na integral:
Passo 6
Vamos simplificar
. Podemos reescrever essa fração como:
Assim, a integral fica:
Passo 7
A primeira parte é fácil:
.
Ficamos com:
Passo 8
Para resolver
, fazemos uma substituição trigonométrica. Vamos usar a identidade
.
Seja
, então
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Passo 9
Agora, a integral
é uma forma padrão. Sabemos que:
Aqui,
, então:
Substituindo
:
Passo 10
Voltando à nossa expressão original, temos:
Resposta
A integral é igual a:
onde
é a constante de integração.
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Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, calculando sua soma quando possível: