Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, calculando sua soma quando possível:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa decidir se a série
é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e alguns testes de convergência que a gente vai ver agora.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série infinita
é convergente se a soma dos seus termos tende a um número finito quando
vai para o infinito. Para testar isso, podemos usar o Teste da Comparação ou o Teste da Comparação Limite, que comparam a série em questão com outra série conhecida.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento dos termos da série quando
é muito grande. Observamos que
pode ser aproximado por
quando
cresce. Então, temos:
Sabemos que a série
é a famosa série harmônica, que diverge, e a série
converge.
Agora, vamos aplicar o Teste da Comparação Limite. Calculamos o limite do quociente entre os termos das duas séries:
Esse limite é um número finito diferente de zero. Segundo o teste, se a série comparada (
) diverge e o limite do quociente é diferente de zero, então a série original também diverge.
Resposta
A série
é divergente.