Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, calculando sua soma quando possível: sumn=1^infty e^1 / nn

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa decidir se a série é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e alguns testes de convergência que a gente vai ver agora.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série infinita é convergente se a soma dos seus termos tende a um número finito quando vai para o infinito. Para testar isso, podemos usar o Teste da Comparação ou o Teste da Comparação Limite, que comparam a série em questão com outra série conhecida.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento dos termos da série quando e^1/nn approx 1 + 1nn = 1n + 1n^2 é muito grande. Observamos que limn to infty e^1/nn1n = limn to infty e^1/n = e^0 = 1 pode ser aproximado por quando cresce. Então, temos:
Sabemos que a série é a famosa série harmônica, que diverge, e a série converge.
Agora, vamos aplicar o Teste da Comparação Limite. Calculamos o limite do quociente entre os termos das duas séries:
Esse limite é um número finito diferente de zero. Segundo o teste, se a série comparada ( ) diverge e o limite do quociente é diferente de zero, então a série original também diverge.

Resposta

A série é divergente.

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