Calcule as seguintes integrais: integral[x^2-2x^2+1] d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente integrando uma função racional. Para resolver isso, vamos precisar usar álgebra para simplificar a fração e depois aplicar integrais básicas que conhecemos.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão dentro da integral: x^2-2x^2+1 = x^2 + 1 - 3x^2 + 1 = x^2+1x^2+1 - 3x^2+1 . Às vezes, é mais fácil trabalhar com essa fração se a gente reescrever ela de uma forma mais simples. Vamos separar os termos no numerador:

Passo 3

Agora, simplificamos cada parte da fração:
x^2+1x^2+1 = 1
Então, a expressão fica:
1 - 3x^2+1

Passo 4

Substituímos isso de volta na integral original:
integral[x^2-2x^2+1] d x = integral 1 , dx - 3 integral 1x^2+1 , dx

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de 1 em relação a integral 1 , dx = x é simples:

Passo 6

Para a segunda integral, -3 integral 1x^2+1 , dx = -3 arctan(x) , sabemos que a antiderivada é . Então:

Resposta

Juntando tudo, a integral x - 3,arctan(x) + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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