Calcule as seguintes integrais: integral raiz[5]x+2^x-3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral que você me deu: integral raiz[5]x + 2^x - 3 , dx. Esse é um exercício de cálculo integral, onde vamos precisar aplicar as regras básicas de integração para funções polinomiais, exponenciais e constantes. Vamos por partes para deixar tudo bem explicado!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar o trabalho:
integral raiz[5]x , dx + integral 2^x , dx - integral 3 , dx
Assim, dividimos a integral em três partes separadas.

Passo 3

Vamos começar com a primeira parte: integral raiz[5]x , dx. A raiz quinta de x é o mesmo que x^1/5. Sabemos que a integral de x^n é dada por:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 4

Aplicando essa regra:
integral x^1/5 , dx = x^1/5 + 11/5 + 1 + C = x^6/56/5 + C = 56 x^6/5 + C

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte: integral 2^x , dx. A integral de uma função exponencial da forma a^x é:
integral a^x , dx = a^xln a + C
Onde ln a é o logaritmo natural de a.

Passo 6

Aplicando essa fórmula para a = 2:
integral 2^x , dx = 2^xln 2 + C

Passo 7

Por fim, temos a terceira parte: - integral 3 , dx. A integral de uma constante k é:
integral k , dx = kx + C

Passo 8

Aplicando isso:
- integral 3 , dx = -3x + C

Resposta

Juntando todas as partes, a integral original é:
56 x^6/5 + 2^xln 2 - 3x + C

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