Seja uma função definida para todo número real por . Determine o valor da constante para que exista .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala de uma função definida de forma diferente dependendo do valor de . Nosso objetivo aqui é encontrar o valor da constante que faz o limite de quando se aproxima de existir. Para isso, vamos precisar entender sobre limites laterais e como eles devem ser iguais para o limite geral existir.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o limite de uma função quando se aproxima de um ponto. O limite existe se, ao se aproximar de pela esquerda e pela direita, os valores que se aproximam são iguais. Ou seja, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de pela esquerda ( ) e pela direita ( ).

Passo 3

Vamos começar calculando o limite pela esquerda, . Para , a função é dada por . Então, substituímos por nessa expressão:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pela direita, . Para , a função é constante e igual a . Como é constante, o limite é simplesmente o próprio valor:

Passo 5

Para que o limite geral exista, esses dois limites laterais devem ser iguais. Assim, igualamos os resultados que encontramos:

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de :

Resposta

O valor da constante que faz o limite de quando se aproxima de existir é .

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