Seja f uma função definida para todo número real por f(x)=llx^2-4 x, & se x <=-2 4-k, & se x>-2. Determine o valor da constante k para que exista lim x -2 f(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala de uma função definida de forma diferente dependendo do valor de . Nosso objetivo aqui é encontrar o valor da constante que faz o limite de quando se aproxima de existir. Para isso, vamos precisar entender sobre limites laterais e como eles devem ser iguais para o limite geral existir.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o limite de uma função quando se aproxima de um ponto. O limite existe se, ao se aproximar de pela esquerda e pela direita, os valores que se aproximam são iguais. Ou seja, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de pela esquerda ( ) e pela direita ( ).

Passo 3

Vamos começar calculando o limite pela esquerda, limx to -2^- f(x) = (-2)^2 - 4(-2) = 4 + 8 = 12 . Para , a função é dada por . Então, substituímos por nessa expressão:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pela direita, limx to -2^+ f(x) = 4 - k . Para , a função é constante e igual a . Como é constante, o limite é simplesmente o próprio valor:

Passo 5

Para que o limite geral exista, esses dois limites laterais devem ser iguais. Assim, igualamos os resultados que encontramos:
12 = 4 - k

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de 12 = 4 - k k = 4 - 12 k = -8 :

Resposta

O valor da constante que faz o limite de quando se aproxima de existir é .

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