Seja
uma função definida para todo número real por
. Determine o valor da constante
para que exista
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala de uma função definida de forma diferente dependendo do valor de
. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor da constante
que faz o limite de
quando
se aproxima de
existir. Para isso, vamos precisar entender sobre limites laterais e como eles devem ser iguais para o limite geral existir.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o limite de uma função quando
se aproxima de um ponto. O limite existe se, ao se aproximar de
pela esquerda e pela direita, os valores que
se aproximam são iguais. Ou seja, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
pela esquerda (
) e pela direita (
).
Passo 3
Vamos começar calculando o limite pela esquerda,
. Para
, a função
é dada por
. Então, substituímos
por
nessa expressão:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite pela direita,
. Para
, a função
é constante e igual a
. Como é constante, o limite é simplesmente o próprio valor:
Passo 5
Para que o limite geral exista, esses dois limites laterais devem ser iguais. Assim, igualamos os resultados que encontramos:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
:
Resposta
O valor da constante
que faz o limite de
quando
se aproxima de
existir é
.
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Encontre os limites indicados. Caso o limite não exista, explique o porquê.
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