Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de de 0 até . Isso cai no conteúdo de integrais envolvendo potências de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar substituição trigonométrica e algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, observamos que a integral é da forma . Quando os expoentes são ímpares ou pares, podemos usar substituições para simplificar. Nesse caso, temos , que é ímpar, então vamos separar uma potência ímpar de seno.

Passo 3

Vamos reescrever como . A ideia aqui é isolar uma seno para usar na substituição.

Passo 4

Agora, usamos a identidade trigonométrica para substituir .

Passo 5

Vamos fazer a substituição . Então, a derivada de em relação a é . Isso significa que .

Passo 6

Substituindo na integral, temos:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:

Passo 8

Voltando para , lembrando que , temos:

Passo 9

Agora, aplicamos os limites de integração de a :

Passo 10

Calculando nos limites:
Para :
Para :

Passo 11

Subtraindo os resultados:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Determine a área da região do plano definida por
0 valor do limite vale:
a) 0
b)
c)
d)
e)
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Acima do plano limitado pelo paraboloide e pelo cilindro .
Calcule as seguintes integrais: