Calcule as seguintes integrais: integral0^pi2 sen^3 theta cos ^2 theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de sin^3 theta cos^2 theta de 0 até pi2. Isso cai no conteúdo de integrais envolvendo potências de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar substituição trigonométrica e algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, observamos que a integral é da forma integral sin^m theta cos^n theta , dtheta. Quando os expoentes são ímpares ou pares, podemos usar substituições para simplificar. Nesse caso, temos sin^3 theta, que é ímpar, então vamos separar uma potência ímpar de seno.

Passo 3

Vamos reescrever sin^3 theta como sin^2 theta cdot sin theta. A ideia aqui é isolar uma seno para usar na substituição.
integral sin^3 theta cos^2 theta , dtheta = integral sin^2 theta cos^2 theta cdot sin theta , dtheta

Passo 4

Agora, usamos a identidade trigonométrica sin^2 theta = 1 - cos^2 theta para substituir sin^2 theta.
integral (1 - cos^2 theta) cos^2 theta cdot sin theta , dtheta

Passo 5

Vamos fazer a substituição u = cos theta. Então, a derivada de u em relação a theta é du = -sin theta , dtheta. Isso significa que - du = sin theta , dtheta.

Passo 6

Substituindo na integral, temos:
integral (1 - u^2) u^2 (-du) = -integral (u^2 - u^4) , du

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
- ( integral u^2 , du - integral u^4 , du ) = - ( u^33 - u^55 ) = -u^33 + u^55

Passo 8

Voltando para theta, lembrando que u = cos theta, temos:
-cos^3 theta3 + cos^5 theta5

Passo 9

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a pi2:
[ -cos^3 theta3 + cos^5 theta5 ]0^pi2

Passo 10

Calculando nos limites:
Para theta = pi2:
cos pi2 = 0 Rightarrow -03 + 05 = 0
Para theta = 0:
cos 0 = 1 Rightarrow -13 + 15 = -515 + 315 = -215

Passo 11

Subtraindo os resultados:
0 - ( -215 ) = 215

Resposta

A integral integral0^pi2 sin^3 theta cos^2 theta , dtheta é igual a 215.

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