Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de
de 0 até
. Isso cai no conteúdo de integrais envolvendo potências de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar substituição trigonométrica e algumas identidades trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, observamos que a integral é da forma
. Quando os expoentes são ímpares ou pares, podemos usar substituições para simplificar. Nesse caso, temos
, que é ímpar, então vamos separar uma potência ímpar de seno.
Passo 3
Vamos reescrever
como
. A ideia aqui é isolar uma seno para usar na substituição.
Passo 4
Agora, usamos a identidade trigonométrica
para substituir
.
Passo 5
Vamos fazer a substituição
. Então, a derivada de
em relação a
é
. Isso significa que
.
Passo 6
Substituindo na integral, temos:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 8
Voltando para
, lembrando que
, temos:
Passo 9
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Passo 10
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Passo 11
Subtraindo os resultados:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Determine a área da região
do plano
definida por
0 valor do limite
vale:
a) 0
b)
c)
d)
e)
a) 0
b)
c)
d)
e)
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Acima do plano limitado pelo paraboloide
e pelo cilindro
.
Acima do plano
Calcule as seguintes integrais: