Calcule as seguintes integrais: integral0^pi cos ^4(2 t) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com integrais envolvendo funções trigonométricas, especificamente potências de cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas que nos ajudam a simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade útil para elevar o cosseno a uma potência par. A identidade para cos^4(x) = 3 + 4cos(2x) + cos(4x)8 é:
Essa fórmula nos ajuda a quebrar a potência do cosseno em termos mais fáceis de integrar.

Passo 3

Agora, aplicamos essa identidade à nossa integral original substituindo cos^4(2t) = 3 + 4cos(4t) + cos(8t)8 por integral0^pi cos^4(2 t) , dt = integral0^pi 3 + 4cos(4t) + cos(8t)8 , dt :
Portanto, a integral fica:

Passo 4

Vamos separar a integral em três partes para facilitar:
integral0^pi 38 , dt + integral0^pi 4cos(4t)8 , dt + integral0^pi cos(8t)8 , dt
Simplificando os coeficientes:
38 integral0^pi dt + 12 integral0^pi cos(4t) , dt + 18 integral0^pi cos(8t) , dt

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo:
  1. Primeira integral:
38 integral0^pi dt = 38 [ t ]0^pi = 38 (pi - 0) = 3pi8
  1. Segunda integral:
12 integral0^pi cos(4t) , dt = 12 [ sin(4t)4 ]0^pi = 18 (sin(4pi) - sin(0)) = 0
  1. Terceira integral:
18 integral0^pi cos(8t) , dt = 18 [ sin(8t)8 ]0^pi = 164 (sin(8pi) - sin(0)) = 0

Resposta

Somando todas as partes, temos:
3pi8 + 0 + 0 = 3pi8
Portanto, o valor da integral é .

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