Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com integrais envolvendo funções trigonométricas, especificamente potências de cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas que nos ajudam a simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade útil para elevar o cosseno a uma potência par. A identidade para é:
Essa fórmula nos ajuda a quebrar a potência do cosseno em termos mais fáceis de integrar.

Passo 3

Agora, aplicamos essa identidade à nossa integral original substituindo por :
Portanto, a integral fica:

Passo 4

Vamos separar a integral em três partes para facilitar:
Simplificando os coeficientes:

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo:
  1. Primeira integral:
  1. Segunda integral:
  1. Terceira integral:

Resposta

Somando todas as partes, temos:
Portanto, o valor da integral é .

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Obtenha a derivada de cada função a seguir:
Calcule as seguintes integrais:
Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada uma das funções:
Calcule as seguintes integrais: