Use o item (b) para obter a primitiva F(x) da função y = cos^5(x) tal que F(pi/6) = 4/15

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a primitiva da função , usando o item (b) (que imagino que seja alguma técnica específica que você tem no material). A matéria envolvida aqui é Cálculo Integral, especificamente a técnica de integração para potências de funções trigonométricas. Vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e regras de substituição para integrar a .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever de uma forma que facilite a integração. Sabemos que . Agora, podemos usar a identidade trigonométrica para simplificar .

Passo 3

Calculando :
Agora, temos:

Passo 4

Vamos simplificar mais usando outra identidade para :
Substituindo de volta:

Passo 5

Agora, vamos distribuir o :
Podemos usar as identidades de produto para soma:

Passo 6

Aplicando as identidades:
Substituindo de volta na expressão:

Passo 7

Simplificando os termos:

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
As integrais básicas são:

Passo 9

Calculando as integrais:
Simplificando:

Passo 10

Agora, usamos a condição para encontrar o valor da constante . Substituindo :
Calculando os senos:
Substituindo:
Convertendo para denominadores iguais e somando:
Então:

Resposta

A primitiva da função que satisfaz é:

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