Use o item (b) para obter a primitiva
da função
tal que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a primitiva
da função
, usando o item (b) (que imagino que seja alguma técnica específica que você tem no material). A matéria envolvida aqui é Cálculo Integral, especificamente a técnica de integração para potências de funções trigonométricas. Vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e regras de substituição para integrar a
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever
de uma forma que facilite a integração. Sabemos que
. Agora, podemos usar a identidade trigonométrica
para simplificar
.
Passo 3
Calculando
:
Agora, temos:
Passo 4
Vamos simplificar mais usando outra identidade para
:
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora, vamos distribuir o
:
Podemos usar as identidades de produto para soma:
Passo 6
Aplicando as identidades:
Substituindo de volta na expressão:
Passo 7
Simplificando os termos:
Passo 8
Agora, vamos integrar termo a termo:
As integrais básicas são:
Passo 9
Calculando as integrais:
Simplificando:
Passo 10
Agora, usamos a condição
para encontrar o valor da constante
. Substituindo
:
Calculando os senos:
Substituindo:
Convertendo para denominadores iguais e somando:
Então:
Resposta
A primitiva
da função
que satisfaz
é:
Exercícios relacionados
Verifique, usando integração por partes:
b)
b)
Calcule as seguintes integrais:
a)
a)
Sem expandir o binômio no integrando, use integração por partes para calcular a integral definida
Neste exercício, primeiro faça uma substituição conveniente e, na sequência, use integração por partes para calcular
а)
а)