Calcule as seguintes integrais integral 5 t raizt^2+1 d t;

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com integrais que envolvem substituição para facilitar a resolução. Vamos precisar entender como usar a substituição para transformar essa integral em algo mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte dentro da raiz: u = t^2 + 1 . Isso parece um bom candidato para substituição, porque sua derivada, , está relacionada ao que temos multiplicando a raiz ( ). Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = ddt(t^2 + 1) , dt = 2t , dt , a derivada de 2t , dt = du Rightarrow t , dt = du2 em relação a :
Isso nos dá:

Passo 4

Vamos reorganizar nossa integral original usando essa substituição. A integral é:
integral 5 t raizt^2+1 , dt = 5 integral t raizu , dt
Substituindo 5 integral raizu cdot du2 = 52 integral raizu , du por :

Passo 5

Agora, precisamos integrar integral u^n , du = u^n+1n+1 + C em relação a 52 integral u^1/2 , du = 52 cdot u^3/23/2 = 52 cdot 23 u^3/2 = 53 u^3/2 + C . Lembre-se que , e a integral de é:
Aplicando isso:

Passo 6

Por último, vamos voltar à variável original 53 u^3/2 + C = 53 (t^2 + 1)^3/2 + C substituindo :

Resposta

A integral 53 (t^2 + 1)^3/2 + C é igual a:

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