Calcule as seguintes integrais
;
Passo 1
Vamos resolver a integral
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções racionais, ou seja, o quociente de dois polinômios. Para resolver, vamos precisar simplificar a fração e utilizar técnicas de integração como a decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. Observamos que
pode ser fatorado. Para isso, colocamos
em evidência:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos decompôr a fração
em frações parciais. Procuramos constantes
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, temos:
Passo 4
Vamos resolver para
e
. Expande-se o lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para o termo
:
Para o termo constante:
Resolvendo
:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 5
Com os valores de
e
encontrados, podemos reescrever a integral:
Passo 6
Agora, integramos cada termo separadamente:
A integral de
é
, e a integral de
é
. Assim:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral é igual a
.