Calcule as seguintes integrais integral t+1t^2+2 t d t;

Passo 1

Vamos resolver a integral integral t+1t^2+2 t , dt. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções racionais, ou seja, o quociente de dois polinômios. Para resolver, vamos precisar simplificar a fração e utilizar técnicas de integração como a decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. Observamos que t^2 + 2t pode ser fatorado. Para isso, colocamos t em evidência:
t^2 + 2t = t(t + 2)
Então, a integral fica:
integral t + 1t(t + 2) , dt

Passo 3

Agora, vamos decompôr a fração t + 1t(t + 2) em frações parciais. Procuramos constantes A e B tais que:
t + 1t(t + 2) = At + Bt + 2
Multiplicando ambos os lados por t(t + 2) para eliminar os denominadores, temos:
t + 1 = A(t + 2) + Bt

Passo 4

Vamos resolver para A e B. Expande-se o lado direito:
t + 1 = At + 2A + Bt
Agrupando os termos semelhantes:
t + 1 = (A + B)t + 2A
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para o termo t:
A + B = 1
Para o termo constante:
2A = 1
Resolvendo 2A = 1:
A = 12
Substituindo A na primeira equação:
12 + B = 1 implies B = 12

Passo 5

Com os valores de A e B encontrados, podemos reescrever a integral:
integral t + 1t(t + 2) , dt = integral ( 1/2t + 1/2t + 2 ) , dt

Passo 6

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 1/2t , dt + integral 1/2t + 2 , dt
A integral de 1t é ln|t|, e a integral de 1t + 2 é ln|t + 2|. Assim:
12 ln|t| + 12 ln|t + 2| + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a 12 ln|t| + 12 ln|t + 2| + C.

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