(a) A = {x em R | x <= 1} e B = {y ∈ R | y ≥ -1}
f: A -> B tal que f(x) = x^2 - 2x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos:
  • A: Conjunto de todos os números reais que são menores ou iguais a 1, ou seja, .
  • B: Conjunto de todos os números reais que são maiores ou iguais a -1, ou seja, .
Também temos uma função que vai de para definida por .
Vamos precisar entender como essa função se comporta para responder à pergunta, que provavelmente está relacionada a propriedades como injetividade, sobrejetividade ou se a função é bijetiva (que combina as duas).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função faz. Essa é uma função quadrática, e graficamente ela forma uma parábola. Para analisar suas propriedades, como injetividade e sobrejetividade, precisamos estudar seu comportamento no conjunto .

Passo 3

Vamos simplificar a função para entender melhor:
Isso nos mostra que a função tem raízes em e . Porém, como nosso conjunto inclui apenas , o valor está fora do domínio que estamos considerando.

Passo 4

Para analisar se é injetiva (ou seja, se cada elemento de mapeia para um elemento único em ), precisamos verificar se implica que .
Vamos calcular a derivada de para entender se a função é crescente ou decrescente no intervalo .
No conjunto , como :
  • Se :
  • Para : (porque quando )
Isso significa que a função é decrescente em todo o conjunto . Então, cada valor de único em corresponde a um valor único de , confirmando que é injetiva.

Passo 5

Agora, vamos verificar se é sobrejetiva, ou seja, se para todo em existe pelo menos um em tal que .
Sabemos que e .
Vamos encontrar o valor mínimo da função no conjunto .
Sabemos que a função quadrática atinge seu mínimo no vértice da parábola. A coordenada do vértice é dada por:
Então, .
Como a função é decrescente no conjunto e atinge o mínimo em , todos os valores de a partir de para valores maiores podem ser alcançados pela função. Portanto, para qualquer , existe um tal que .
Isso confirma que é sobrejetiva.

Resposta

A função definida por é bijetiva, ou seja, é injetiva e sobrejetiva.

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