(a)
e
tal que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos:
- A: Conjunto de todos os números reais
que são menores ou iguais a 1, ou seja, . - B: Conjunto de todos os números reais
que são maiores ou iguais a -1, ou seja, .
Também temos uma função
que vai de
para
definida por
.
Vamos precisar entender como essa função se comporta para responder à pergunta, que provavelmente está relacionada a propriedades como injetividade, sobrejetividade ou se a função é bijetiva (que combina as duas).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a função
faz. Essa é uma função quadrática, e graficamente ela forma uma parábola. Para analisar suas propriedades, como injetividade e sobrejetividade, precisamos estudar seu comportamento no conjunto
.
Passo 3
Vamos simplificar a função para entender melhor:
Isso nos mostra que a função tem raízes em
e
. Porém, como nosso conjunto
inclui apenas
, o valor
está fora do domínio que estamos considerando.
Passo 4
Para analisar se
é injetiva (ou seja, se cada elemento de
mapeia para um elemento único em
), precisamos verificar se
implica que
.
Vamos calcular a derivada de
para entender se a função é crescente ou decrescente no intervalo
.
No conjunto
, como
:
- Se
: - Para
: (porque quando )
Isso significa que a função é decrescente em todo o conjunto
. Então, cada valor de
único em
corresponde a um valor único de
, confirmando que
é injetiva.
Passo 5
Agora, vamos verificar se
é sobrejetiva, ou seja, se para todo
em
existe pelo menos um
em
tal que
.
Sabemos que
e
.
Vamos encontrar o valor mínimo da função
no conjunto
.
Sabemos que a função quadrática
atinge seu mínimo no vértice da parábola. A coordenada
do vértice é dada por:
Então,
.
Como a função é decrescente no conjunto
e atinge o mínimo em
, todos os valores de
a partir de
para valores maiores podem ser alcançados pela função. Portanto, para qualquer
, existe um
tal que
.
Isso confirma que
é sobrejetiva.
Resposta
A função
definida por
é bijetiva, ou seja, é injetiva e sobrejetiva.