A função f definida em R - {2} por f(x) = (2 + x) / (2 - x) é inversível. Determine o seu contradomínio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta a função definida para todos os números reais, exceto para . A função é dada por:
O objetivo aqui é encontrar o contradomínio dessa função, ou seja, todos os valores que pode assumir. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções inversíveis e como determinar seu contradomínio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser inversível. Uma função é inversível se conseguimos “desfazer” a operação dela, ou seja, existe uma função tal que:
Isso implica que para cada valor de no contradomínio, existe um único no domínio que satisfaz .

Passo 3

Agora, para encontrar o contradomínio, vamos assumir que e resolver essa equação para em termos de :
Queremos isolar o . Para isso, vamos multiplicar ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 4

Expandindo a equação:
Vamos reunir os termos que contêm de um lado e os termos constantes do outro:
Fatorando do lado esquerdo:

Passo 5

Agora, isolamos o dividindo ambos os lados por :
Para que essa expressão faça sentido, o denominador não pode ser zero. Portanto:

Passo 6

Isso significa que pode ser qualquer número real exceto . Ou seja, o contradomínio da função é todos os números reais menos .

Resposta

O contradomínio da função é:

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