A função
definida em
por
é inversível. Determine o seu contradomínio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta a função
definida para todos os números reais, exceto para
. A função é dada por:
O objetivo aqui é encontrar o contradomínio dessa função, ou seja, todos os valores que
pode assumir. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções inversíveis e como determinar seu contradomínio.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função ser inversível. Uma função é inversível se conseguimos “desfazer” a operação dela, ou seja, existe uma função
tal que:
Isso implica que para cada valor de
no contradomínio, existe um único
no domínio que satisfaz
.
Passo 3
Agora, para encontrar o contradomínio, vamos assumir que
e resolver essa equação para
em termos de
:
Queremos isolar o
. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 4
Expandindo a equação:
Vamos reunir os termos que contêm
de um lado e os termos constantes do outro:
Fatorando
do lado esquerdo:
Passo 5
Agora, isolamos o
dividindo ambos os lados por
:
Para que essa expressão faça sentido, o denominador
não pode ser zero. Portanto:
Passo 6
Isso significa que
pode ser qualquer número real exceto
. Ou seja, o contradomínio da função
é todos os números reais menos
.
Resposta
O contradomínio da função
é: