Calcule as seguintes integrais integral0^1 e^-a x d x;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral definida de de até . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo integrais de funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções da forma , onde é uma constante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da regra básica de integração para funções exponenciais. A integral de integral e^k x , dx = 1k e^k x + C em relação a é dada por:
Aqui, é a constante de integração. No nosso caso, a função que vamos integrar é , então .

Passo 3

Aplicando a regra que acabamos de lembrar, a antiderivada de integral e^-a x , dx = 1-a e^-a x + C é:
Agora, como estamos calculando uma integral definida de 0 a 1, vamos aplicar os limites de integração. Isso significa que vamos avaliar a antiderivada nos pontos e e subtrair os resultados.

Passo 4

Vamos substituir [ 1-a e^-a x ]0^1 = 1-a e^-a cdot 1 - 1-a e^-a cdot 0 e = 1-a e^-a - 1-a e^0 na antiderivada:
= 1-a e^-a - 1-a
Simplificando cada termo:
Como , fica:

Resposta

Finalmente, simplificando os termos:
1-a e^-a - 1-a = 1 - e^-aa
Portanto, o valor da integral é:
boxed1 - e^-aa

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