Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos trabalhando com cálculo, especificamente integração envolvendo funções trigonométricas como tangente ( ) e secante ( ). Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que facilita a integração de funções mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que , então podemos reescrever como . Assim:

Passo 3

Agora, expandimos para facilitar a integração:
Então, a integral fica:

Passo 4

Integrar , e diretamente é complicado. Vamos procurar uma maneira de simplificar. Observamos que:
E sabemos que a derivada de é . Isso sugere que podemos usar substituição. Vamos focar na parte da integral que pode ser ligada à derivada de .

Passo 5

Vamos fazer a substituição . Então, a derivada de em relação a é:
Isso significa que podemos substituir por na integral.

Passo 6

Voltando à integral original:
Mas isso ainda é complicado. Em vez disso, vamos reescrever a integral original de outra forma para facilitar a substituição:
Agora, fazemos a substituição , então e :

Passo 7

Precisamos expressar em termos de . Sabemos que , então:
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, integramos cada termo separadamente:
Então, somando tudo:

Passo 9

Finalmente, voltamos à variável original substituindo :

Resposta

A integral é igual a .

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Determine cada um dos limites dados a seguir.
(a) ,
Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de nos pontos de abscissas indicados:

Obtenha a derivada das funções abaixo:
Obtenha a derivada das funções abaixo: