Calcule as seguintes integrais: integral tg^4 x sec ^6 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral tan^4 x sec^6 x , dx. Aqui estamos trabalhando com cálculo, especificamente integração envolvendo funções trigonométricas como tangente ( tan x) e secante ( sec x). Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que facilita a integração de funções mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão tan^4 x. Sabemos que tan^2 x = sec^2 x - 1, então podemos reescrever tan^4 x como (tan^2 x)^2. Assim:
tan^4 x = (sec^2 x - 1)^2

Passo 3

Agora, expandimos (sec^2 x - 1)^2 para facilitar a integração:
(sec^2 x - 1)^2 = sec^4 x - 2sec^2 x + 1
Então, a integral fica:
integral (sec^4 x - 2sec^2 x + 1) sec^6 x , dx = integral (sec^10 x - 2sec^8 x + sec^6 x) , dx

Passo 4

Integrar sec^10 x, sec^8 x e sec^6 x diretamente é complicado. Vamos procurar uma maneira de simplificar. Observamos que:
sec^n x = sec^n-2 x cdot sec^2 x
E sabemos que a derivada de tan x é sec^2 x. Isso sugere que podemos usar substituição. Vamos focar na parte da integral que pode ser ligada à derivada de tan x.

Passo 5

Vamos fazer a substituição u = tan x. Então, a derivada de u em relação a x é:
dudx = sec^2 x Rightarrow du = sec^2 x , dx
Isso significa que podemos substituir sec^2 x , dx por du na integral.

Passo 6

Voltando à integral original:
integral tan^4 x sec^6 x , dx = integral (sec^2 x - 1)^2 sec^6 x , dx = integral (sec^10 x - 2sec^8 x + sec^6 x) , dx
Mas isso ainda é complicado. Em vez disso, vamos reescrever a integral original de outra forma para facilitar a substituição:
integral tan^4 x sec^6 x , dx = integral tan^4 x sec^4 x cdot sec^2 x , dx
Agora, fazemos a substituição u = tan x, então tan^4 x = u^4 e sec^2 x , dx = du:
integral u^4 sec^4 x , du

Passo 7

Precisamos expressar sec^4 x em termos de u. Sabemos que sec^2 x = 1 + tan^2 x = 1 + u^2, então:
sec^4 x = (sec^2 x)^2 = (1 + u^2)^2 = 1 + 2u^2 + u^4
Então, a integral fica:
integral u^4 (1 + 2u^2 + u^4) , du = integral (u^4 + 2u^6 + u^8) , du

Passo 8

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral u^4 , du = u^55
integral 2u^6 , du = 2 cdot u^77 = 2u^77
integral u^8 , du = u^99
Então, somando tudo:
u^55 + 2u^77 + u^99 + C

Passo 9

Finalmente, voltamos à variável original substituindo u = tan x:
tan^5 x5 + 2tan^7 x7 + tan^9 x9 + C

Resposta

A integral é igual a dfractan^5 x5 + dfrac2,tan^7 x7 + dfractan^9 x9 + C.

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