Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui estamos trabalhando com cálculo, especificamente integração envolvendo funções trigonométricas como tangente (
) e secante (
). Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que facilita a integração de funções mais complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que
, então podemos reescrever
como
. Assim:
Passo 3
Agora, expandimos
para facilitar a integração:
Então, a integral fica:
Passo 4
Integrar
,
e
diretamente é complicado. Vamos procurar uma maneira de simplificar. Observamos que:
E sabemos que a derivada de
é
. Isso sugere que podemos usar substituição. Vamos focar na parte da integral que pode ser ligada à derivada de
.
Passo 5
Vamos fazer a substituição
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Isso significa que podemos substituir
por
na integral.
Passo 6
Voltando à integral original:
Mas isso ainda é complicado. Em vez disso, vamos reescrever a integral original de outra forma para facilitar a substituição:
Agora, fazemos a substituição
, então
e
:
Passo 7
Precisamos expressar
em termos de
. Sabemos que
, então:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, integramos cada termo separadamente:
Então, somando tudo:
Passo 9
Finalmente, voltamos à variável original substituindo
:
Resposta
A integral é igual a
.
Exercícios relacionados
Determine cada um dos limites dados a seguir.
(a) ,
(a)
Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de
nos pontos de abscissas indicados:
Obtenha a derivada das funções abaixo:
Obtenha a derivada das funções abaixo: