Calcule as seguintes integrais integral theta ln (theta) d theta;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral theta ln (theta) , dtheta. A matéria que estamos usando aqui é cálculo integral, mais especificamente a técnica de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar identificar partes da função que serão usadas na fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Então, precisamos escolher quais partes da nossa função serão u e dv. Geralmente, a gente escolhe u para ser algo que simplifica quando derivamos, e dv algo que é fácil de integrar.

Passo 3

Vamos escolher:
  • u = ln(theta) (porque a derivada de ln(θ) é mais simples)
  • dv = theta , dtheta (que é fácil de integrar)
Agora, vamos calcular du e v.
  • Derivando u: du = 1theta , dtheta
  • Integrando dv: v = integral theta , dtheta = theta^22

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral theta ln (theta) , dtheta = uv - integral v , du
Substituindo as partes que encontramos:
= ln(theta) cdot theta^22 - integral theta^22 cdot 1theta , dtheta

Passo 5

Vamos simplificar a integral restante:
integral theta^22 cdot 1theta , dtheta = integral theta2 , dtheta = 12 integral theta , dtheta = 12 cdot theta^22 = theta^24

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão original:
integral theta ln (theta) , dtheta = theta^22 ln(theta) - theta^24 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

Então, a integral é:
integral theta ln (theta) , dtheta = theta^22 ln(theta) - theta^24 + C

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