Hallar las derivadas parciales segundas de:
f(x, y) = 2^(1/(x+y))

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as derivadas parciais segundas da função . A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar regras de derivação, como a regra da cadeia e a regra do logaritmo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos tratar como uma constante.
A função é . Para derivar isso, podemos usar a regra da cadeia combinada com a derivada de uma função exponencial.
Lembrando que se temos , a derivada é .
Aplicando isso:
Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, . Isso significa que vamos derivar novamente em relação a .
Temos:
Vamos derivar isso usando a regra do produto, já que temos um produto de duas funções: e .
Primeiro, derivamos a primeira parte:
Em seguida, derivamos a segunda parte usando novamente a regra da cadeia:
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 4

Finalmente, podemos fatorar e para simplificar a expressão:

Resposta

A segunda derivada parcial de em relação a é:

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