Hallar las derivadas parciales segundas de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as derivadas parciais segundas da função
. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar regras de derivação, como a regra da cadeia e a regra do logaritmo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos tratar
como uma constante.
A função é
. Para derivar isso, podemos usar a regra da cadeia combinada com a derivada de uma função exponencial.
Lembrando que se temos
, a derivada é
.
Aplicando isso:
Então,
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso significa que vamos derivar
novamente em relação a
.
Temos:
Vamos derivar isso usando a regra do produto, já que temos um produto de duas funções:
e
.
Primeiro, derivamos a primeira parte:
Em seguida, derivamos a segunda parte usando novamente a regra da cadeia:
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 4
Finalmente, podemos fatorar
e
para simplificar a expressão:
Resposta
A segunda derivada parcial de
em relação a
é: